Найти все нормальные подгруппы

[dmitryf]

Нужно найти все нормальные группы в $S_3, A_4$ и $S_4$. Прочитал несколько тем, но никак не могу понять алгоритм. Есть, конечно, пару критериев:

1. Два элемента симметрической группы сопряжены тогода и только тогда, когда они имеют одинаковое циклическое строение, то есть при разложении в произведение независимых циклов совпадают порядки этих циклов. Получается нормальная подгруппа должна содержать все элементы группы такого вида (структуры). (Не проверял, верно ли это для четных подстановок).
После чего выписать возможные цикловые виды элементов, например, для $S_4$ : 1-1-1-1, 2-1-1, 2-2, 3-1, 4 и смотреть какие-то подгруппы их могут образовывать.

2. Любая подгруппа индекса 2 является нормальной.

Но для того, чтобы применить эти критерии нужно найти все подгруппы. Понятно, что транспозиции образуют подгруппу порядка 2, тройные циклы - 3, можно еще какие-то тривиальные примеры придумать. В целом надо перебрать все подгруппы, порядки которых делят порядок группы, но все равно не понятно как найти ВСЕ подгруппы? Опять таки видел предложения построить таблицу Кэли, но она для $S_4$, например, получается большой.

Спасибо

[Sonic86]

Если нужен алгоритм (но, по-моему, он не нужен, так как тут группы известные и нормальные делители их известны), то найти коммутант $G'=[G;G]$, и тогда $G/G'$ - абелева группа и если $A$ - подгруппа фактора $G/G'$, то из $G'$ и $A$ как-то строятся все нормальные делители (есть биекция между множеством нормальных делителей и множеством подгрупп фактора $G/G'$) (вроде через прямые произведения. Или через полупрямые. Забыл. Посмотрите Каргаполова Мерзлякова, например).

[Kallikanzarid]

dmitryf
ИМХО логичный первый шаг - найти неприводимые комплексные представления и посмотреть на их ядра. А дальше уже импровизировать :)

Конкретнее: для $S_3$ все просто, $|A_4| = 12 = 9 + 1 + 1 + 1 = 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 8 \cdot 1$, надо посмотреть, какой из вариантов правильный, там тут же найдется часть подгрупп. Потом рассматриваем факторы и т. д.

[zhoraster]

Kallikanzarid, замечание за некропостинг.

Нарушения нет. Приношу свои извинения.