Разрезание прямоугольника

[Ktina]

Найти все натуральные $n$, при которых прямоугольник $2012\times n$ разрезаем на попарно различные прямоугольники вида $1\times m\in\mathbb N$

[hippie]

Ответ: При $n\le1006$ или $n\ge4023.$

Если $n\le2012,$ то все $m\le2012.$ Следовательно площадь прямоугольника не превосходит $1+2+\dots+2012 = 2012\cdot1006.5.$

Если $n>2012,$ то все $m\le n.$ Следовательно площадь прямоугольника не превосходит $1+2+\dots+n = n\cdot\frac{n+1}2.$ Поэтому $\frac{n+1}2 \ge2012.$

Нужное разрезание получается если все прямоугольники $1\times m$ параллельны длинной стороне исходного прямоугольника.