Родил!
Т.к. это мне нужно для процессов во времени, будем искать факторизацию для специальной формы:
![$a \sin \left( \omega _2\right t)+\sin \left( \omega _1\right t).$ $a \sin \left( \omega _2\right t)+\sin \left( \omega _1\right t).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/8/018fa471fc6b55af5a4b2205a1a49f0582.png)
Общий случай
![$a\cdot \sin \left( \omega _1 t +\phi _1\right)+b\cdot \sin \left( \omega _2 t+\phi _2\right)$ $a\cdot \sin \left( \omega _1 t +\phi _1\right)+b\cdot \sin \left( \omega _2 t+\phi _2\right)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/1/ec1be9e46ee083956208a3c5e3f967a982.png)
рассматривается аналогично.
Введем
![$\Omega = \omega _2 - \omega _1$ $\Omega = \omega _2 - \omega _1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/b/16bfc8ee542db16fae3cb2c81b3f934182.png)
Тогда:
![$a \sin \left( \omega _2\right t) \equiv a \sin \left( \omega _1 t + \Omega t \right)$ $a \sin \left( \omega _2\right t) \equiv a \sin \left( \omega _1 t + \Omega t \right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/0/04046b745fd98c6e9a2759bc0196935382.png)
Раскрывая сумму аргументов и приводя подобные, получим:
![$(1+ a \cos ( \Omega t))\cdot \sin \left( \omega _1 t \right)+a \sin ( \Omega t )\cdot \cos \left( \omega_1 t\right)$ $(1+ a \cos ( \Omega t))\cdot \sin \left( \omega _1 t \right)+a \sin ( \Omega t )\cdot \cos \left( \omega_1 t\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/c/f0c51ebab549a8529d81edbfbd9c19fd82.png)
Допустим, что существуют такие параметры
![$A, \phi$ $A, \phi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/8/248835cd9135f2b6cdbedd75809b307782.png)
, что удовлетворяется система уравнений:
![$\begin{cases}
1+a \cos ( \Omega t ) = A \cos \phi\\
a \sin ( \Omega t)=A \sin \phi
\end{cases}$ $\begin{cases}
1+a \cos ( \Omega t ) = A \cos \phi\\
a \sin ( \Omega t)=A \sin \phi
\end{cases}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/f/07f6daf6175da5ca0f658bc06651b90882.png)
Решая её, видим, что такие параметры действительно существуют:
![$A=\sqrt{1+a^2 +2 a \cos ( \Omega t))}
\phi = arctg \left(\frac{a \sin ( \Omega t)}{a \cos ( \Omega t)+1}\right)$ $A=\sqrt{1+a^2 +2 a \cos ( \Omega t))}
\phi = arctg \left(\frac{a \sin ( \Omega t)}{a \cos ( \Omega t)+1}\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/1/fa13f299c337e9fa5706bc999c314a6d82.png)
и
![$a \sin \left( \omega _2 t\right)+\sin \left( \omega _1 t\right) = A \sin \left( \omega _1 t +\phi \right)$ $a \sin \left( \omega _2 t\right)+\sin \left( \omega _1 t\right) = A \sin \left( \omega _1 t +\phi \right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/1/8018fbddbdd80ea96ab7f43b539bb6e782.png)
Эту факторизацию, конечно, можно назвать формальной,
т.к. никакого реального произведения отдельных синусов и косинусов нет.
Однако, как интуитивно догадался hippie, меня интересуют
нули данного выражения. Используя такое разложение, проанализировать их не составляет труда.
Спасибо также за подсказку про экспоненты, попробую применить их для более длинных сумм.