2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство.Произведение возрастающих последовательностей
Сообщение02.02.2012, 02:24 


25/10/09
832
задача писал(а):
Пусть последовательности $x_n$и $y_n$ возрастают.

Возрастает ли последовательность $z_n=x_n\cdot y_n$?


Я предположил, что возрастает (прав ли я?) и пытался доказать, не получилось.

Как я понял -- нужно доказать это неравенство:

$z_{n+1}-z_n=x_{n+1}\cdot y_{n+1}-x_n\cdot y_n$

(такой путь доказательства показался утопичным, но вдруг что-то в этом есть...)

Начал доказывать с использования неравенства, которое следует из того, что последовательности $x_n$и $y_n$ возрастают.

$(x_{n+1}-x_n)(y_{n+1}-y_n)>0$

Раскрывая скобки, получаем:

$x_{n+1}y_{n+1}+x_ny_n-x_{n+1}y_n-x_ny_{n+1}>0$

Дальше пытался выделить нужные конструкции:

$x_{n+1}y_{n+1}-x_ny_n+2x_ny_n-x_{n+1}y_n-x_ny_{n+1}>0$

$z_{n+1}-z_n+(x_ny_n-x_{n+1}y_n)+(x_ny_n-x_ny_{n+1})>0$

$z_{n+1}-z_n>(x_{n+1}y_n-x_ny_n)+(x_ny_{n+1}-x_ny_{n})

$z_{n+1}-z_n>y_n(x_{n+1}-x_n)+x_n(y_{n+1}-y_{n})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство. Произведение возрастающих последов.
Сообщение02.02.2012, 02:31 


15/01/09
549
integral2009 в сообщении #533929 писал(а):
Я предположил, что возрастает (прав ли я?)

$x_{n} = y_{n} =  -\frac{1}{n}$

Когда поймёте в чём дело, используйте широко любимый метод добавления нуля: $0 = x_{n+1}y_{n} - x_{n+1}y_{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство. Произведение возрастающих последов.
Сообщение02.02.2012, 02:44 


25/10/09
832
Nimza в сообщении #533930 писал(а):
integral2009 в сообщении #533929 писал(а):
Я предположил, что возрастает (прав ли я?)

$x_{n} = y_{n} =  -\frac{1}{n}$
.


Ого, значит я был не прав, спасибо

-- Чт фев 02, 2012 02:47:13 --

Nimza в сообщении #533930 писал(а):

Когда поймёте в чём дело, используйте широко любимый метод добавления нуля: $0 = x_{n+1}y_{n} - x_{n+1}y_{n}$.


А в чем заключается -- понять в чем дело? То есть нужно опровергнуть, что она возрастает. А на каком этапе нужно добавлять эти нули? Нужно ли использовать то неравенство $(x_{n+1}-x_n)(y_{n+1}-y_n)>0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство.Произведение возрастающих последовательностей
Сообщение02.02.2012, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
У Вас в первом же посте всё уже доказано. В чём вопрос?

-- Чт, 2012-02-02, 12:16 --

(Ну, правда, "всё" с учётом того, что исходное утверждение верно не всегда, а - - -)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group