Доказательство.Произведение возрастающих последовательностей

[integral2009]

задача писал(а):

Пусть последовательности $x_n$и $y_n$ возрастают.

Возрастает ли последовательность $z_n=x_n\cdot y_n$?

Я предположил, что возрастает (прав ли я?) и пытался доказать, не получилось.

Как я понял -- нужно доказать это неравенство:

$z_{n+1}-z_n=x_{n+1}\cdot y_{n+1}-x_n\cdot y_n$

(такой путь доказательства показался утопичным, но вдруг что-то в этом есть...)

Начал доказывать с использования неравенства, которое следует из того, что последовательности $x_n$и $y_n$ возрастают.

$(x_{n+1}-x_n)(y_{n+1}-y_n)>0$

Раскрывая скобки, получаем:

$x_{n+1}y_{n+1}+x_ny_n-x_{n+1}y_n-x_ny_{n+1}>0$

Дальше пытался выделить нужные конструкции:

$x_{n+1}y_{n+1}-x_ny_n+2x_ny_n-x_{n+1}y_n-x_ny_{n+1}>0$

$z_{n+1}-z_n+(x_ny_n-x_{n+1}y_n)+(x_ny_n-x_ny_{n+1})>0$

$z_{n+1}-z_n>(x_{n+1}y_n-x_ny_n)+(x_ny_{n+1}-x_ny_{n})

$z_{n+1}-z_n>y_n(x_{n+1}-x_n)+x_n(y_{n+1}-y_{n})$

[Nimza]

integral2009 в сообщении #533929 писал(а):

Я предположил, что возрастает (прав ли я?)

$x_{n} = y_{n} = -\frac{1}{n}$

Когда поймёте в чём дело, используйте широко любимый метод добавления нуля: $0 = x_{n+1}y_{n} - x_{n+1}y_{n}$.

[integral2009]

Nimza в сообщении #533930 писал(а):

integral2009 в сообщении #533929 писал(а):

Я предположил, что возрастает (прав ли я?)

$x_{n} = y_{n} = -\frac{1}{n}$
.

Ого, значит я был не прав, спасибо

-- Чт фев 02, 2012 02:47:13 --

Nimza в сообщении #533930 писал(а):

Когда поймёте в чём дело, используйте широко любимый метод добавления нуля: $0 = x_{n+1}y_{n} - x_{n+1}y_{n}$.

А в чем заключается -- понять в чем дело? То есть нужно опровергнуть, что она возрастает. А на каком этапе нужно добавлять эти нули? Нужно ли использовать то неравенство $(x_{n+1}-x_n)(y_{n+1}-y_n)>0$?

[ИСН]

У Вас в первом же посте всё уже доказано. В чём вопрос?

-- Чт, 2012-02-02, 12:16 --

(Ну, правда, "всё" с учётом того, что исходное утверждение верно не всегда, а - - -)