Критерий сходимости последовательности множеств

[xmaister]

Дана последовательность подмножеств $\mathcal{F}=\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ множества $X$. Нужно доказать, что последовательность сходится тогда и только тогда, когда последовательность характеристических функций $f_{F_n}$ множеств $F_n$ сходится к $f_{\mathrm{Lim}\limits_{n\to\infty}F_n}$.
Начал с необходимости. Пусть сходится, тогда $\mathrm{Lim}\limits_{n\to\infty}F_n=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}F_{n+k}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_{n+k}$. А тут непонятно, что значит предел последовательности функций $f_{F_n}:\mathcal{F}\to D$.

[JMH]

То же, что и в другой Вашей задаче: похоже, что речь идёт об индуктивной системе множеств и индуктивном пределе, но это нигде не сказано явно. Посмотрите определения и свойства в Бурбаки, "Теория множеств", глава 3, параграф 1, пункт 11, "Индуктивные пределы".

[xmaister]

JMH в сообщении #533951 писал(а):

Посмотрите определения и свойства в Бурбаки, "Теория множеств", глава 3, параграф 1, пункт 11, "Индуктивные пределы".

Посмотрел. А без этого нельзя никак обойтись? У них как-то жутковато.

[a_nn]

xmaister в сообщении #533914 писал(а):

Дана последовательность подмножеств $\mathcal{F}=\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ множества $X$. Нужно доказать, что последовательность сходится тогда и только тогда, когда последовательность характеристических функций $f_{F_n}$ множеств $F_n$ сходится к $f_{\mathrm{Lim}\limits_{n\to\infty}F_n}$.
Начал с необходимости. Пусть сходится, тогда $\mathrm{Lim}\limits_{n\to\infty}F_n=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}F_{n+k}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_{n+k}$. А тут непонятно, что значит предел последовательности функций $f_{F_n}:\mathcal{F}\to D$.

Непонятно, что непонятно... Просто поточечный предел... Почему только из $\mathcal{F}$ в $D$? И что такое $D$? Может, из $X$ в $\mathbb{R}$? Или какой-то другой смысл у характеристических функций??

[xmaister]

Непонятно какое брать определение предела для последовательности характеристических функций. Почему из $X$ в $\mathbb{R}$? У нас же каждому подмножеству множеству $X$ ставится в соответствие элемент из $D=\{0,1\}$. Поэтому я рассматриваю $\mathcal{F}=\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Или я не правильно понял смысл характеристической функции?

[a_nn]

Неправильно поняли. Характеристическая функция множества $A\subset X$ - это функция, которая равна 1 для всех $x\in A (\subset X)$ и 0 для $x\in \bar A (\subset X)$.

[alcoholist]

Всё правильно ТС понял

просто надо доказать, что $x\in \lim X_n$ тогда и только тогда, когда начиная с некоторого $N$ имеем $f_{F_n}(x)=1$

[a_nn]

alcoholist в сообщении #534184 писал(а):

Всё правильно ТС понял

Тогда я не понимаю: как это характеристическая функция множества действует из $\mathcal F$?

[alcoholist]

ну, это описка)))

Имелось ввиду, что мн-во х.ф. и Фе красивое в биективном соответствии, вероятно

[a_nn]

alcoholist в сообщении #534211 писал(а):

ну, это описка)))

Имелось ввиду, что мн-во х.ф. и Фе красивое в биективном соответствии, вероятно

А я вот подумала, что ТС именно неправильно понял. Иначе непонятно что за вопрос - предел функций вроде обычное дело...

И судя по одному из промежуточных постов я все-таки, наверное, права.

[xmaister]

Да я понял, $f_{F_n}:X\to D$. Если рассмотреть произвольную последовательность функций. Что значит $\lim\limits_{n\to\infty}f_{F_n}=f$?

[--mS--]

Да ответили же уже дважды - поточечный предел!