Снова тележка под дождем

[obar]

Просматривая задачи этого раздела наткнулся на такую. Решил ее немного уточнить и дополнить. Итак

Тележка, двигаясь по ровной горизонтальной поверхности, проходит до остановки путь $S_1$ за время $t_1$. Точно такая же тележка, с той же начальной скоростью движется по той же поверхности, но под дождем (без ветра), постепенно наполняющим тележку водой. Какой будет ее тормозной путь $S_2$ и время до остановки $t_2$ в сравнении с $S_1$ и $t_1$ (больше, меньше)? Рассмотреть три случая: 1) сила сопротивления постоянна и не зависит ни от массы тележки, ни от ее скорости; 2) сила сопротивления пропорциональна массе, но не зависит от скорости; 3) сила сопротивления пропорциональна скорости (и не зависит от массы). В последнем случае сравнить тормозные пути (время остановки бесконечно). На коэффициент пропорциональности в силе сопротивления дождь не влияет.

Задача, в общем-то, простая, но ответ не всегда очевиден.

[Ilia_]

Пишем уравнения движения для тележки без дождя и с дождём. Пусть под дождём масса тележки изменяется по закону $m(t)=m+\beta t$, где $m$ - масса тележки без дождя. Пусть, кроме того, начальная скорость тележки $v$. Тогда:
1) 1.
$m\ddot x=-F,\qquad x(0)=0,\ \dot x(0)=v$
$x(t)=-\frac{F}{2m} t^2+vt$
$\dot x(t)=v-\frac Fm t$
$t_1=mv/F$
$S_1=\frac{mv^2}{2F}$
2.
$\frac{d(m\dot x)}{dt}=-F,\qquad x(0)=0,\ \dot x(0)=v$
$\beta\dot x+m\ddot x=-F$
$\ddot x+\frac\beta m \dot x=-F/m$
Частное решение неоднородного уравнения $x(t)=-\frac{F}{\beta} t$. Общее решение однородного $x(t)=C_1+C_2\cdot\exp\left(-\frac\beta m t\right)$. Итого:
$x(t)=\left(\frac{F}{\beta}+v\right)\frac{m}{\beta}\left(1-\exp\left(-\frac\beta m t\right)\right)-\frac{F}{\beta}t$
$\dot x(t)=\left(\frac{F}{\beta}+v\right)\exp\left(-\frac\beta m t\right)-\frac{F}{\beta}$
Из условия $\dot x(t_2)=0$ получаем:
$t_2=\frac{m}{\beta}\ln\left(1+\frac{\beta v}{F}\right)<\frac{mv}{F}=t_1$
$S_2=x(t_2)=\frac{F+\beta v}{\beta}\frac{m}{\beta}\frac{\beta v}{F+\beta v}-\frac{mF}{\beta^2}\ln\left(1+\frac{\beta v}{F}\right)=\frac{mv}\beta-\frac{mF}{\beta^2}\ln\left(1+\frac{\beta v}{F}\right)=\frac{mv}\beta-\frac{mv}\beta+\frac{mv^2}{2F}-\frac{\beta mv^3}{3F^2}+\frac{\beta^2 mv^4}{4F^3}-...=S_1+\frac{mF}{\beta^2}\sum_{k=3}^\infty\frac{(-1)^k (\beta v/F)^k}{k}$

Таким образом под дождём в случае постоянной силы тележка остановится быстрее, чего и следовало ожидать. Путь, скорее всего, тоже будет меньше, хотя как доказать это строго сейчас сообразить не могу.

-- 02.02.2012, 01:26 --

Теперь второй случай:
2) 1.
$m\ddot x=-m\alpha,\qquad x(0)=0,\ \dot x(0)=v$
$x(t)=-\alpha t^2/2+vt$
$\dot x(t)=v-\alpha t$
$t_1=v/\alpha$
$S_1=\frac{v^2}{2\alpha}$
2.
$\frac{d(m\dot x)}{dt}=-(m+\beta t)\alpha,\qquad x(0)=0,\ \dot x(0)=v$
$\beta\dot x+m\ddot x=-\alpha m-\alpha\beta t$
$\ddot x+\frac\beta m \dot x=-\alpha-\alpha\beta t/m$
Частное решение неоднородного уравнения $x(t)=-\frac{\alpha}{2}t^2$. Общее решение однородного $x(t)=C_1+C_2\cdot\exp\left(-\frac\beta m t\right)$. Итого:
$x(t)=\frac{mv}{\beta}\left(1-\exp\left(-\frac\beta m t\right)\right)-\alpha t^2/2$
$\dot x(t)=v\exp\left(-\frac\beta m t\right)-\alpha t$
Мы получили трансцендентное уравнение, что печально. Но для оценки "что больше $t_1$, или $t_2$" достаточно подставить в это уравнение $t_1$ и посмотреть на знак.
$\dot x(t_1)=v\exp\left(-\frac{\beta v}{\alpha m}\right)- v<0$
Итак, и во втором случае $t_2<t_1$. Как оценить $S_2$ не знаю. Но предполагаю, что и тут он будет меньше.

-- 02.02.2012, 01:35 --

И третий случай:
3) 1.
$m\ddot x=-\gamma \dot x,\qquad x(0)=0,\ \dot x(0)=v$
$x(t)=\frac{mv}{\gamma}\left(1-\exp\left(-\frac\gamma mt\right)\right)$
$S_1=\lim\limits_{t\to\infty}x(t)=\frac{mv}{\gamma}$
2.
$\frac{d(m\dot x)}{dt}=-\gamma \dot x,\qquad x(0)=0,\ \dot x(0)=v$
$\beta\dot x+m\ddot x=-\gamma \dot x$
$\ddot x+\frac{\beta+\gamma}{m} \dot x=0$
$x(t)=\frac{mv}{\gamma+\beta}\left(1-\exp\left(-\frac{\gamma+\beta}{m}t\right)\right)$
$S_2=\lim\limits_{t\to\infty}x(t)=\frac{mv}{\gamma+\beta}<S_1$

$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}=1+\frac{\beta}{\gamma}$

Самый простой случай оказался.

[Ilia_]

Глупость написал. Для случая переменной массы одно слагаемое упустил при дифференцировании. Всё неверно.

Правильно решать через импульс. Там уравнение первой степени получается и всё просто:
1.2)
$\frac{dp}{dt}=-F\qquad p(0)=mv$
$p(t)=mv-Ft$
$t_2=\frac{mv}{F}=t_1$
Равенство путей можно получить из закона сохранения энергии: $\frac{p(0)^2}{2m}=FS$. Отсюда $S_1=S_2$

2.2)
$\frac{dp}{dt}=-\alpha(m+\beta t)\qquad p(0)=mv$
$p(t)=mv-\alpha m t -\alpha\beta t^2/2$
Решаем квадратное уравнение.
$t_2^2+2m/\beta\cdot t_2-\frac{2mv}{\alpha\beta}=0$
$t_2=-m/\beta+\sqrt{m^2/\beta^2+\frac{2mv}{\alpha\beta}}<v/\alpha=t_1$
В последнем неравенстве можно убедится, перенеся в правую часть $-m/\beta$ и возведя в квадрат.

$$\dot x(t)=\frac{mv-\alpha m t -\alpha\beta t^2/2}{m+\beta t}=-\frac{\alpha}{2}t+\frac{mv-\alpha m t +\alpha m t/2}{m+\beta t}=-\frac{\alpha}{2}t+\frac{mv-\alpha m t/2}{m+\beta t}=-\frac{\alpha}{2}t-\frac{\alpha m}{2\beta}+\frac{mv+\alpha m^2/2\beta}{m+\beta t}$$

$$x(t)=-\frac{\alpha}{4}t^2-\frac{\alpha m}{2\beta}t+\frac{v+\alpha m/2\beta}{\beta}\cdot\ln(1+\beta t/m)=-\frac{\alpha}{4}(t^2+2m/\beta\cdot t-\frac{2mv}{\alpha\beta})-\frac{mv}{2\beta}+\frac{v+\alpha m/2\beta}{\beta}\cdot\ln(1+\beta t/m)$$

Осталось подставить $t_2$ в $x(t)$.

$$S_2=x(t_2)=-\frac{mv}{2\beta}+\frac{v+\alpha m/2\beta}{\beta}\cdot\ln(1+\beta t_2/m)<-\frac{mv}{2\beta}+\frac{vt_2}{m}+\frac{\alpha t_2}{2\beta}$$

5 часов ночи. Доведу выкладки до конца завтра.
3.2)
$\frac{dp}{dt}=-\gamma\dot x\qquad p(0)=mv$
$\dot p = -\gamma p/(m+\beta t)$
$d(\ln p)=-\gamma/\beta\ d(\ln(m+\beta t))$
$p(t)=mv\cdot (1+\beta t/m)^{-\gamma/\beta}$
$m(1+\beta t/m)\dot x=mv\cdot (1+\beta t/m)^{-\gamma/\beta}$
$\dot x=v\cdot (1+\beta t/m)^{-\gamma/\beta-1}$
$S_2=\int\limits_0^\infty\dot x \,dt=mv/\gamma=S_1$

[obar]

Ilia_, как вы применяете закон сохранения энергии к тележке? ведь это не замкнутая система (я имею ввиду не силу сопротивления, а переменность массы). Задача действительно простая, тут не надо долго интегрировать.

[Ilia_]

Да, действительно. Тогда найду $S_2$ честно:

$\frac{dp}{dt}=-F$
$p=mv-Ft=(m+\beta t)\dot x$
$t_2=mv/F$
$\dot x=\frac{mv-Ft}{m+\beta t}=-\frac{F}{\beta}+\frac{mv+Fm/\beta}{m+\beta t}$
$x(t)=-\frac{F}{\beta}t+\frac{mv+Fm/\beta}{\beta}\ln(1+\beta t/m)$
$S_2=x(t_2)=-mv/\beta+\frac{mv+Fm/\beta}{\beta}\ln(1+\beta v/F)$

Покажу, что $S_2<S_1$.
$\dot x_2(t)-\dot x_1(t)=\frac{mv-Ft}{m+\beta t}-\frac{mv-Ft}{m}=(mv-Ft)\frac{-\beta t}{m(m+\beta t)}<0,$
так как $mv-Ft>0$ во время движения. Таким образом, скорость тележки под дождём меньше, а время движения то же. Следовательно, $S_2<S_1$

Аналогично показывается, что и в случае 2) $S_2<S_1$.

[obar]

Можно считать, что задача решена. Поэтому приведу свой вариант решения.

Рассмотрим вначале случай, когда сила сопротивления отсутствует. Поскольку капли дождя не имеют горизонтальной компоненты импульса, то импульс 2-й тележки меняться не будет (уменьшение скорости компенсируется ростом массы). При наличии силы сопротивления уравнения движения будут

$$ \frac{dp}{dt}=-F\,,\quad \Leftrightarrow\quad p\,\frac{dp}{dx}=-m(t)F. $$

1. $F=const$.

$$ p(t)=p_0-Ft\,,\quad\Rightarrow\quad t_1=t_2; $$

$$ v(t)=\frac{p(t)}{m(t)}\quad\Rightarrow\quad v_2(t)<v_1(t)\,,\quad\Rightarrow\quad S_2<S_1. $$

2. $F=km$.

$$ F_2(t)>F_1(t)\quad\Rightarrow\quad p_2(t)<p_1(t)\quad\Rightarrow\quad v_2(t)<v_1(t) \quad\Rightarrow\quad S_2<S_1,\;\;t_2<t_1. $$

3. $F=kv$.

$$ p\,\frac{dp}{dx}=-m(t)F\quad\Rightarrow\quad p(x)=p_0-kx\quad\Rightarrow\quad S_2=S_1. $$

Хотя 1-я тележка будет всегда впереди второй, но $S_1=S_2$ за счет бесконечности времени движения.

[Ilia_]

В третьем случае красивый переход придуман. Действительно, находить явную зависимость $x(t)$ не требуется. Хотя любопытно, что "без дождя" замедление имеет экспоненциальный характер, а "с дождём" - степенной.