Задача по релятивистской механике

[Maximum]

Вроде бы элементарная задача, а ответ получить не могу. Условие: две частицы массой m движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Удар неупругий, масса образовавшейся частицы m. Найти скорость частиц.
Рассуждаю так:Полный импульс системы до удара был 0. После удара он остался такой же.
Но итоговое тело не может покоится, так как это противоречит закону сохранения энергии. Значит, выделилась какая-то энергия, в виде света, наверное. Пусть скорости до соударения $v$, после соударения $v'$, cоответствующие этим скоростям релятивистские факторы $\gamma$ и \gamma', энергия в виде света $\mathcal E$. Тогда максимум, что я могу написать:
энергия сохраняется:

$$\gamma mc^2+\gamma mc^2=\gamma' mc^2+\mathcal E$$

импульс сохраняется:

$$\gamma mv-\gamma mv=\gamma' mv'-\frac{\mathcal E}{c}$$

Но отсюда нельзя найти нужные скорости. Помогите, пожалуйста.

[worm2]

Видимо, в обоих случаях имеется в виду, что m --- это не масса покоя, а масса в инерциальной системе отсчёта, связанной с центром масс частиц.

Тогда после удара масса в этой системе отсчёта будет равна суммарной массе покоя обоих частиц (закон сохранения импульса), т.е. $m=2m_0$. С другой стороны, $m=\frac{m_0 c}{\sqrt{c^2-v^2}}$. Отсюда v легко находится.

[Аурелиано Буэндиа]

Maximum писал(а):

Условие:...

Если несложно, напишите название задачника и автора.

worm2
напишите, пожалуйста, подробнее, как из закона сохранения импульса Вы получили $m=2m_0$

[LynxGAV]

Мне кажется, что в такой формулировке, в какой задача была представлена, она некорректна.

[Maximum]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Если несложно, напишите название задачника и автора.

Не знаю, из задачника эта задача или нет. Это одна из задач, список которых составил преподаватель одного из вузов. Я, к сожалению, не могу с ним общаться, так как в этом вузе не учусь. То есть это как бы такой "локальный задачник" местного значения.

LynxGAV писал(а):

worm2
напишите, пожалуйста, подробнее, как из закона сохранения импульса Вы получили $m=2m_0$

Я вроде сначала поверил и даже понял, а сейчас что-то и сам не пойму. Система центра инерции. Так центр масс вроде покоится в этой задаче. Значит, что система цетра инерции, что лабораторная система, импульс все равно одинаково записывается.

LynxGAV писал(а):

Мне кажется, что в такой формулировке, в какой задача была представлена, она некорректна.

Да я и сам не пойму, что имел в виду тот человек, который эту формулировку сочинил. Думал сначала, что это я просто что-то не догоняю, как говорится туплю. А оно-то вон как: автор задачи непонять что придумал.

[Юрий Иванов]

По части формулировки темы.
Хорошо звучит, но не предполагал, что релятивизм имеет отношение к какой-либо механике.

[Maximum]

Юрий Иванов писал(а):

Хорошо звучит, но не предполагал, что релятивизм имеет отношение к какой-либо механике.

Насколько я знаю, специальная теория относительности называется ещё также релятивистская механика.

[Someone]

Maximum писал(а):

Юрий Иванов писал(а):

Хорошо звучит, но не предполагал, что релятивизм имеет отношение к какой-либо механике.

Насколько я знаю, специальная теория относительности называется ещё также релятивистская механика.

Механика - она механика и есть, хоть классическая, хоть релятивистская. У них и математические структуры в высшей степени аналогичные. Просто метрики пространства-времени разные.

[worm2]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

worm2
напишите, пожалуйста, подробнее, как из закона сохранения импульса Вы получили $m=2m_0$

М-да, немного непонятно, наверное, написал...
Из закона сохранения импульса следует, что после удара получившаяся частица неподвижна в системе отсчёта, связанной с центром масс системы. Значит, масса получившейся частицы в этой системе отсчёта равна массе покоя этой частицы. Последняя, в свою очередь, равна сумме масс покоя исходных частиц, т.е. $m_0 + m_0$ ($m_0$ --- масса покоя одной частицы). Тут ещё неявно предполагается, что при столкновении излучается в виде энергии в точности "релятивистский" довесок, не больше и не меньше (хотя законы физики не запрещают, например, преобразование этого довеска полностью в массу покоя получившейся частицы, без излучения, или полное преобразование всей массы в энергию, если сталкиваются, например электрон и позитрон).

[Аурелиано Буэндиа]

worm2 писал(а):

Значит, масса получившейся частицы в этой системе отсчёта равна массе покоя этой частицы. Последняя, в свою очередь, равна сумме масс покоя исходных частиц, т.е. $m_0 + m_0$ ($m_0$ --- масса покоя одной частицы).

То, что получается частица в состоянии покоя это так, но от сюда не следует, что масса этой частицы будет равна $2m_0$. Строго говоря, масса образовавшейся частицы равна суммарной энергии исходных частиц (поделенной на $c^2$), а не сумме двух масс покоя $m_0$. Это следует напрямую из закона сохранения энергии.

worm2 писал(а):

Тут ещё неявно предполагается, что при столкновении излучается в виде энергии в точности "релятивистский" довесок, не больше и не меньше (хотя законы физики не запрещают, например, преобразование этого довеска полностью в массу покоя получившейся частицы, без излучения, или полное преобразование всей массы в энергию, если сталкиваются, например электрон и позитрон).

Ну, про это в условии ничего не сказано и думаю так нельзя предполагать, ибо тут возникает сразу много альтернатив... Условие должно быть таким, чтобы не возникало неоднозначности. Короме того, если Вы предполагаете, что излучается фотон, то тогда образовавшуюся частицу уже нельзя считать покоящейся.

[worm2]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

worm2 писал(а):

Тут ещё неявно предполагается, что при столкновении излучается в виде энергии в точности "релятивистский" довесок...

Ну, про это в условии ничего не сказано и думаю так нельзя предполагать, ибо тут возникает сразу много альтернатив... Условие должно быть таким, чтобы не возникало неоднозначности.

Согласен, что задача плохо сформулирована. Я просто подумал, что говоря "неупругий удар", авторы подразумевают именно это...

[Шимпанзе]

Maximum писал(а):

Вроде бы элементарная задача, а ответ получить не могу. Условие: две частицы массой m движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Удар неупругий, масса образовавшейся частицы m. Найти скорость частиц.
Рассуждаю так:Полный импульс системы до удара был 0. После удара он остался такой же.
Но итоговое тело не может покоится, так как это противоречит закону сохранения энергии. Значит, выделилась какая-то энергия, в виде света, наверное. Пусть скорости до соударения $v$, после соударения $v'$, cоответствующие этим скоростям релятивистские факторы $\gamma$ и \gamma', энергия в виде света $\mathcal E$. Тогда максимум, что я могу написать:
энергия сохраняется:

$$\gamma mc^2+\gamma mc^2=\gamma' mc^2+\mathcal E$$

импульс сохраняется:

$$\gamma mv-\gamma mv=\gamma' mv'-\frac{\mathcal E}{c}$$

Но отсюда нельзя найти нужные скорости. Помогите, пожалуйста.

Да уж. Хоть бы в задаче дали б цвет видимой вспышки…А то иди и гадай, желтая она будет или красная, видимая она или не видимая, а может ваaще рентген.


Шимпанзе

[LynxGAV]

Шимпанзе писал(а):

Да уж. Хоть бы в задаче дали б цвет видимой вспышки…А то иди и гадай, желтая она будет или красная, видимая она или не видимая, а может ваaще рентген.

This problem is INcorrect. First, the author must have mentioned what second particle is emitted in this process (It could be a neutrino as well !). Even though this information is not sufficient -- energy or momentum (or scattering angle) of one of the particles must be given (I found one more equation which reduced to those written by Maximum; thus we have three unknowns $\mathcal E, \vec V, \vec V'$ and only two equations, but it´s possible to write the third equation using the angle of deep scattering). From the other hand, look at the text of the problem -- it´s formulated in a general way, without naming the interacting particles, so we shouldn´t consider some particular case (photon, neutrino). Guess, someone lost a three ou four multiplication factor before m -- mass of the resulting particle.

Maximum писал(а):

$$\gamma mv-\gamma mv=\gamma' mv'-\frac{\mathcal E}{c}=0$$

This expression is true in the CM frame and each part is equal to zero. But in general case the momenta are turned with respect to each other through a scattering angle.

[Шимпанзе]

Всё это так. Но задачу, видимо, можно развернуть и по иному. Ну, например , рассчитать вероятности ( прогноз) событий при условии, что две частицы слились в одну, но продолжили движения под определенным углом к первоначальной траектории.


Шимпанзе

[LynxGAV]

Шимпанзе писал(а):

Всё это так. Но задачу, видимо, можно развернуть и по иному. Ну, например , рассчитать вероятности ( прогноз) событий при условии, что две частицы слились в одну, но продолжили движения под определенным углом к первоначальной траектории.

И как, например, Вы это рассчитаете? Как?