База топологии

[wolf.ram]

Сказано:
Базой топологии называется нек. набор открытых множеств, такой, что всякое непустое открытое множество представимо в виде объединения множеств из этого набора.

Я правильно понимаю, что база для некоего множества $X$ может быть "избыточной", в том смысле, что объединением множеств базы можно представить и такие множества, которые не входят в $X$ и от этого она не перестаёт быть его базой?

[gris]

По аксиоматическому определению открытое множество, так же как и объединение любого их числа, является подмножеством $X$, значит элементы базы и их любые объединения являются открытыми подмножествами $X$.

Открытость понимается именно в рамках рассматриваемой топологии.

[wolf.ram]

я не совсем об этом спрашивал, всё равно спасибо. Я сам разобрался.

[wolf.ram]

Задам вопрос сюда же ещё один. Вот сказано "...представимо в виде объединения множеств из этого набора...".
Объединение обязательно нескольких множеств, или можно взять объединение одного множества, считая такое объединение самим этим множеством? Полагаю, что можно, ведь иначе под некоторые топологии не подвести базы, если в таких топологиях есть одноэлементные множества.

[мат-ламер]

wolf.ram в сообщении #533818 писал(а):

Объединение обязательно нескольких множеств, или можно взять объединение одного множества

И даже можно взять объединение ни одного множества.

[wolf.ram]

И что мы получим?

[мат-ламер]

Пустое множество. (Однако, попробуйте сами догадаться, почему это так).

[wolf.ram]

А зачем в определении базы говорят о непустых множествах, если и пустое можно представить множествами базы?

[мат-ламер]

Думаю, чтобы не запутывать неискушённого читателя. Суть дела это не меняет.

[wolf.ram]

Оказывается это перетирали тут topic35366.html