Математический маятник.

[2f2]

Здравствуйте.
Разбираю решение вот такой задачи. Определить закон движения математического маятника при произвольном значении энергии. Мы записали интеграл движения, и вот. $t - t_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}\int\limits_0^\varphi{\frac{d\varphi}{\sqrt{k^2 - \sin^2{\frac{\varphi}{2}}}}}$. (1) Здесь $k = \sqrt{\frac{E}{2mgl}}$ и для определённости $\varphi'(t_0) > 0$. Когда $k < 1$, т.е. энергия больше потенциальной энергии, маятник колеблется в пределах $|\varphi| \le\varphi_{max}$ и $k = \sin{\frac{\varphi_{max}}{2}}$. Вот тут первый вопрос: мы $k = \sin{\frac{\varphi_{max}}{2}}$ из эстетических соображений так выбрали или это показать можно? Далее. Делаем замену $\sin{\xi} = \frac{1}{k}\sin{\frac{\varphi}{2}}$ и приводим выражение (1) к виду: $t - t_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}\int\limits_0^{\xi}\frac{d\xi}{\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}{\xi}}} = \sqrt{\frac{l}{g}}F(\xi,k)$, где $F(\xi,k)$ - неполный эллиптический интеграл первого рода. Далее говорится, что если $u = F(\xi,k)$, то $\sin{\xi} = sn(u,k)$ хорошо, пусть. Пишем закон движения $\varphi = 2\arcsin(ksn(u,k))$. Теперь не ясно как работать с эллиптическим синусом (нашли закон, как прикинуть его график)? И пишем период колебаний в виде: $T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}K(k)$, где $K(k) = F(\frac{\pi}{2},k)$. С периодом не понятно совсем. Как его получили?
Вот такие у меня проблемы, буду рад любой помощи.

[Himfizik]

Надо, конечно, мыслить проще. Если хотите почувствовать более-менее физически свою задачу, то начните с рисунка. Изобразите потенциальную яму, задайте уровень энергии, обозначьте точки остановки.
Первый Ваш вопрос вероятно связан с непониманием того, что выражает собой разность под корнем в знаменателе. Фактически, с точностью до констант, там стоит разность между полной и потенциальной энергией (то бишь величина пропорциональная кинетической энергии). Когда кинетическая энергия обращается в нуль (в точках остановки/поворота), то потенциальная наоборот "максимизируется", в силу постоянства полной энергии. И тогда полная энергия (пропорциональная $k^2$) просто равна максимальному значению потенциальной. То есть смысл равенства не эстетический (вся "эстетика" в процедуре обезразмеривания интеграла), а сугубо физический, выражающийся в законе сохранения энергии.

Про период вопрос легко решается, опять же настаиваю, нарисуйте, прокрутите в голове процесс движения в потенциале. Колебанию соответствует перемещение от одной точки поворота до другой и обратно (целых четыре "четверть-движения" ).

[2f2]

Цитата:

Колебанию соответствует перемещение от одной точки поворота до другой и обратно (целых четыре "четверть-движения" )

Да, точно, теперь ясно откуда $\frac{\pi}{2}$ в неполном эллиптическом интеграле. А с $sn(u,k)$ как быть? Можно его по-человечески представить или это табличное чудо?

[Himfizik]

2f2 в сообщении #533618 писал(а):

Можно его по-человечески представить или это табличное чудо?

Ну, это "чудо", конечно, табулировано, уже построены их графики, но и Вы попробуйте сами построить график, например, в Matlab'е, варьируя аргументы.
Для полноты ощущений почитайте об "эллипсизме"( ), хотя бы здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0% ... 0%B0%D0%BB
и здесь
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0% ... 0%B0%D0%BB