нормализатор(Normalizer) и централизатор(Centralizer)

[tavrik]

Не могу уяснить разницу между двумя понятиями: нормализатор(Normalizer) и централизатор(Centralizer).
(последний на русском может быть называется по другому?)
Определение в учебнике дано таким образом:
G - группа, $A\in{G}$
центр: $C(A)= c\in{G}|ca=ac, \forall{a}\in{A}$
норм: $N(A)= n\in{G}|nA=An $

но если ca=ac для любого a разве из этого не следует cA=Ac ?

update:
Нормализатор это наибольшая нормальная подгруппа т.е. такая, что сопряженные члены её элементов тоже находятся в этой подгруппе.
А как "словами" описать централизатор?

нет, не то: если H подгруппа G то нормализатор это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна.
в H находятся все сопряженные членые нормализатора?

[Narn]

tavrik в сообщении #533416 писал(а):

но если ca=ac для любого a разве из этого не следует cA=Ac ?

Следует, да. А вот обратное неверно.
А охарактеризовать централизатор множества словами совсем просто --- это те элементы, которые коммутируют со всеми элементами этого множества.

[tavrik]

то есть для абелевой группы - централизатор это сама группа
а для такой как, например, $S_3$ - лишь единичный элемент {e}.

но в данных случаях тривиально потому что это и центр тоже.
а иногда централизатор включает в себя не только центр, но в тоже время он меньше самой группы.

[Sonic86]

Элементы нормализатора $M$ коммутируют с $M$, а элементы централизатора $M$ - с каждым элементом $M$, что сильнее.
Нормализатор группы - сама группа. Централизатор той же группы при этом может быть вообще тривиальным.