Могут ли две различные непрерывные функции совпадать на Q?

[Ktina]

Могут ли две различные непрерывные функции $f, g: \mathbb R\to\mathbb R$ совпадать на множестве рациональных чисел?

Я думаю, что не могут, но доказать не могу. Могу только попробовать. Если предположить, что разность двух непрерывных функций обязана быть непрерывной функцией (а это так?), то возьмём функцию $f-g$. Тогда во всех рациональных точках она будет тождественным нулём, так? Теперь, пусть в некоторой иррациональной точке $x$ справедливо $f(x)-g(x)=y\ne 0$. Так как функция непрерывна, она принимает все значения между $0$ и $y$ на отрезке между 0 и х. Но так как рациональное множество всюду плотно (между двумя рациональными числами есть ещё число), найдётся рациональная точка $z$ на этом отрезке, в которой функция принимает значение, отличное от нуля. Противоречие.
Вот, как-то так. У меня получилось? Или не совсем?

-- 30.01.2012, 21:25 --

Забыла добавить, что эта иррациональная точка должна быть бесконечно близкой к нулю, тогда производная функции будет стремиться к бесконечности...в общем, я окончательно запуталась

[PAV]

Да, так можно рассуждать. А можно также взять последовательность рациональных чисел, сходящихся к этому самому $x$, и воспользоваться непрерывностью.

-- Пн янв 30, 2012 23:28:05 --

Ktina в сообщении #533228 писал(а):

Забыла добавить, что эта иррациональная точка должна быть бесконечно близкой к нулю, тогда производная функции будет стремиться к бесконечности...в общем, я окончательно запуталась

Этого не нужно.

[Nemiroff]

Ktina в сообщении #533228 писал(а):

Так как функция непрерывна, она принимает все значения между $0$ и $y$ на отрезке между 0 и х.

Вообще, это утверждение доказывается сложнее, чем то, что в названии топика, на мой взгляд.

Ktina в сообщении #533228 писал(а):

Но так как рациональное множество всюду плотно (между двумя рациональными числами есть ещё число), найдётся рациональная точка $z$ на этом отрезке, в которой функция принимает значение, отличное от нуля.

Почему? Может, на всех рациональных она нуль, а на всех иррациональных принимает все значения между $0$ и $y$?

Проще воспользоваться определением непрерывности по Гейне.

[Ktina]

PAV в сообщении #533233 писал(а):

Да, так можно рассуждать. А можно также взять последовательность рациональных чисел, сходящихся к этому самому $x$, и воспользоваться непрерывностью.

-- Пн янв 30, 2012 23:28:05 --

Ktina в сообщении #533228 писал(а):

Забыла добавить, что эта иррациональная точка должна быть бесконечно близкой к нулю, тогда производная функции будет стремиться к бесконечности...в общем, я окончательно запуталась

Этого не нужно.

Спасибо!
Только что нашла в Сети решение:

Нет, не могут. Пусть функции f и g совпадают на множестве рациональных чисел, но функция $h=f-g$ отлична от нуля в какой-то точке $x_0$. Тогда она отлична от нуля в некоторой окрестности этой точки. Но в этой окрестности есть рациональные точки. Противоречие.

Таким образом, в своей попытке решения я упустила ключевое понятие "окрестность", но ход мыслей был верным.

-- 30.01.2012, 21:38 --

Nemiroff в сообщении #533236 писал(а):

Ktina в сообщении #533228 писал(а):

Но так как рациональное множество всюду плотно (между двумя рациональными числами есть ещё число), найдётся рациональная точка $z$ на этом отрезке, в которой функция принимает значение, отличное от нуля.

Почему? Может, на всех рациональных она нуль, а на всех иррациональных принимает все значения между $0$ и $y$?

Да, уже поняла, спасибо!

[ewert]

Наверное, проще было бы доказать более общее утверждение: "если две непрерывных функции совпадают на всюду плотном множестве, то они совпадают и вообще всюду". И -- никаких тебе окрестностей.

[lyuk]

Если есть всюду плотное множество, то уже есть и окрестности.