2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проблема с пониманием формулировки арифметической задачи
Сообщение30.01.2012, 19:54 
Аватара пользователя


01/12/11
8360
Доказать, что для любого натурального $n>1$ существует натуральное число $z$, не представимое в виде $x^n-y!$, где $x$ и $y$ -натуральные числа.
(В. А. Сендеров, журнал "Квант")

Я, кажется, нашла такое $z$, это число 18.
Действительно, при $y>3$ мы получим делящееся на 2 (но не на 4) число $x^n$ - противоречие. А первые три игрека проверяем вручную - 24, 20 и 19 не являются степенями больше первой.

Но, по-моему, тут ошибка в самой формулировке задачи. Надо было так сформулировать: Доказать, что существует такое натуральное $z$, которое при любом натуральном $n>1$ не представимо в виде $x^n-y!$, где $x$ и $y$ -натуральные числа. Чувствуете разницу? Первая формулировка понимается неоднозначно. Обязано ли $z$ быть одним и тем же для всех $n>1$? А в моей переформулировке такой проблемы не возникает.
Я не права?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с пониманием формулировки арифметической задачи
Сообщение30.01.2012, 20:22 
Заслуженный участник


23/07/08
7869
Харьков
Ну да, одно дело $\forall n>1\;\exists z ...$ , а другое $\exists z\;\forall n>1 ...$ .
Как носитель русского языка заверяю Вас, что формулировка автора скорее должна пониматься в первом смысле, то есть не в Вашем (хотя бы даже она имела меньше смысла с точки зрения математики). Да она и соответствует, как видите, последовательности кванторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с пониманием формулировки арифметической задачи
Сообщение30.01.2012, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16746
Москва
Ktina в сообщении #533173 писал(а):
Я не права?
Не правы. Процитированная Вами формулировка однозначно означает, что $z$ может зависеть от $n$. Если Вы нашли $z$, которое годится для всех $n$ сразу, то, стало быть, получили более сильное утверждение, чем спрашивалось.

У меня студенты постоянно путаются с этими $\forall\exists$ и $\exists\forall$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с пониманием формулировки арифметической задачи
Сообщение30.01.2012, 20:55 
Аватара пользователя


01/12/11
8360
Someone в сообщении #533183 писал(а):
Ktina в сообщении #533173 писал(а):
Я не права?
Не правы. Процитированная Вами формулировка однозначно означает, что $z$ может зависеть от $n$. Если Вы нашли $z$, которое годится для всех $n$ сразу, то, стало быть, получили более сильное утверждение, чем спрашивалось.

У меня студенты постоянно путаются с этими $\forall\exists$ и $\exists\forall$.

Мы оба не правы. Только что подглядела в решение, там всё гораздо навороченней.
(стр. 22, задача М2039)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с пониманием формулировки арифметической задачи
Сообщение30.01.2012, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16746
Москва
Не открывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с пониманием формулировки арифметической задачи
Сообщение30.01.2012, 22:39 
Аватара пользователя


01/12/11
8360
Someone в сообщении #533226 писал(а):
Не открывается.

Простите.
Попытайтесь поискать в Сети журнал "Квант", номер 5 от 2007-го года.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с пониманием формулировки арифметической задачи
Сообщение30.01.2012, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16746
Москва
Нашёл. Там просто доказывается ещё более сильное утверждение, чем $\exists\forall$, а именно, что "существует бесконечно много таких $z$, что для всех $n$...". Но это не означает, что в условии задачи ошибка. Там просто сформулировано более слабое утверждение, нежели возможно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group