Тождество с cos(Pi/19) и кубическими корнями.

[Сергей Маркелов]

$$\sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{7\pi}{19}+\cos\frac{11\pi}{19}}+\sqrt[3]{\cos\frac{3\pi}{19}+\cos\frac{5\pi}{19}+\cos\frac{17\pi}{19}}+\sqrt[3]{\cos\frac{9\pi}{19}+\cos\frac{13\pi}{19}+\cos\frac{15\pi}{19}}=$$

$$=\sqrt[3]{\frac{1}{2}-3\sqrt[3]{7} +\frac{3}{2}\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49}+18\sqrt[3]{7}-25} +\frac{3}{2}\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49}+18\sqrt[3]{7}-44}}$$

Проверка в Maple с точностью до 1000 знаков и код для желающих вставить в другую программу:

Digits:=1000;
left:=surd(cos(3*Pi/19)+cos(5*Pi/19)+cos(17*Pi/19),3)+surd(cos(Pi/19)+cos(7*Pi/19)+cos(11*Pi/19),3)+surd(cos(9*Pi/19)+cos(13*Pi/19)+cos(15*Pi/19),3);
right:=(1/2-3*7^(1/3)+3/2*(-25+3*7^(2/3)+18*7^(1/3))^(1/3)+3/2*(-44+18*7^(1/3)+3*7^(2/3))^(1/3))^(1/3);
evalf(left-right);

Это число (левая и правая часть тождества) является корнем многочлена

$\large{8\,{x}^{9}+ \left(72\,\sqrt [3]{7} -12\right) {x}^{6}+ \left( 54\,\sqrt[3]{49}-18\,\sqrt [3]{7}+330 \right) {x}^{3}-\left(27\,\sqrt[3]{49}+9\,\sqrt [3]{7}+190}\right)$

8*x^9+(72*7^(1/3)-12)*x^6+(54*49^(1/3)-18*7^(1/3)+330)*x^3-(27*49^(1/3)+9*7^(1/3)+190)

Обсуждение этой формулы в ЖЖ: http://ru-math.livejournal.com/797774.html
На AOPS: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=461077

Я довольно долго трудился над сочинением сего тождества. Мне будет приятно услышать Ваше доказательство или комментарий. Спасибо.

Deggial: код и формулы оформил

[maxal]

Сергей Маркелов в сообщении #532962 писал(а):

$$\large{8\,{x}^{9}+ \left(72\,\sqrt [3]{7} -12\right) {x}^{6}+ \left( 54\,\sqrt[3]{49}-18\,\sqrt [3]{7}+330 \right) {x}^{3}-\left(27\,\sqrt[3]{49}+9\,\sqrt [3]{7}+190}\right)$$

Если избавиться от кубических корней в этом многочлене, то получится "эквивалентный" многочлен с теми же корнями:

$$512 x^{27} - 2304 x^{24} + 66816 x^{21} + 1731264 x^{18} + 2375712 x^{15} -$$

$$- 35180640 x^{12} + 85162776 x^9 - 86458572 x^6 + 39811194 x^3 - 6859000.$$

Поэтому подкоренное выражение правой части тождества является корнем многочлена:

$$512 x^9 - 2304 x^8 + 66816 x^7 + 1731264 x^6 + 2375712 x^5 -$$

$$- 35180640 x^4 + 85162776 x^3 - 86458572 x^2 + 39811194 x - 6859000$$

что очень похоже на многочлен из этого поста - http://ru-math.livejournal.com/797456.html

[Kitonum]

Недавно обнаружил упоминание об этом замечательном тождестве на сайте mapleprimes.com, куда я частенько захожу, на странице
http://www.mapleprimes.com/posts/144188-Trigonometric-Functions-In-Radicals#comment144497

На другой странице того же сайта
http://www.mapleprimes.com/posts/144499-Stunningly-Beautiful-Identity-Proved
приводится элегантное доказательство этого тождества с помощью Maple (используются команды для работы с алгебраическими числами evala и Normal).

На этом же сайте приведено моё доказательство этого результата. В этом доказательстве непосредственно строится многочлен, корнем которого является левая часть тождества. Этот многочлен полностью совпадает с многочленом, упоминаемым С. Маркеловым. Само доказательстве проводится с применением Maple, хотя кажется, что большинство преобразований достаточно легко провести и вручную.
Ссылка на страницу с этим доказательством
http://www.mapleprimes.com/posts/144605-Another-Proof-Of-Stunningly-Beautiful-Identity

Deggial: Оформление команд исправлено.
Не используйте красный цвет для выделения текста - этот цвет зарезервирован для модераторов

[nnosipov]

Kitonum в сообщении #696182 писал(а):

В этом доказательстве непосредственно строится многочлен, корнем которого является левая часть тождества.

Пусть $r_i$ --- кубические корни в левой части. Многочлен

$$ f(x)=\prod_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3} (x-\epsilon_1r_1-\epsilon_2r_2-\epsilon_3r_3), $$

где каждый $\epsilon_i$ пробегает систему корней 3-й степени из единицы, имеет степень 27, а все его коэффициенты --- рациональные числа. Последнее следует из того, что коэффициенты суть симметрические выражения от $r_1^3$, $r_2^3$, $r_3^3$, а элементарные симметрические выражения от них рациональны (как нетрудно проверить, они равны $1/2$, $-3/2$ и $-7/8$).

[Сергей Маркелов]

Рад, что Вам понравилось моё тождество. Спасибо за ссылки и за доказательства!

[davidoff303]

Все подобные тождества можно записать с помощью одной формулы:
$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k+2}) }=\sqrt[3]{6m-1-3\sqrt[3]{mp}}\ ;\ p=9m^{2}-3m+1\ ;\ $
$a$- это генератор мультипликативной группы вычетов по простому модулю $p$.
Вот примеры для конкретных значений $m$:
$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-7+3\sqrt[3]{13}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{11-3\sqrt[3]{2\cdot 31}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-13+3\sqrt[3]{2\cdot 43}} $
$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k+2}) }=\sqrt[3]{17-3\sqrt[3]{3\cdot73}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-31+3\sqrt[3]{5\cdot241}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-43+3\sqrt[3]{7\cdot 463}} $