2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тождество с cos(Pi/19) и кубическими корнями.
Сообщение30.01.2012, 08:15 


29/06/08
50
$$\sqrt[3]{\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{7\pi}{19}+\cos\frac{11\pi}{19}}+\sqrt[3]{\cos\frac{3\pi}{19}+\cos\frac{5\pi}{19}+\cos\frac{17\pi}{19}}+\sqrt[3]{\cos\frac{9\pi}{19}+\cos\frac{13\pi}{19}+\cos\frac{15\pi}{19}}=$$
$$=\sqrt[3]{\frac{1}{2}-3\sqrt[3]{7}
+\frac{3}{2}\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49}+18\sqrt[3]{7}-25}
+\frac{3}{2}\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49}+18\sqrt[3]{7}-44}}$$

Проверка в Maple с точностью до 1000 знаков и код для желающих вставить в другую программу:

Изображение

Код:
Digits:=1000;
left:=surd(cos(3*Pi/19)+cos(5*Pi/19)+cos(17*Pi/19),3)+surd(cos(Pi/19)+cos(7*Pi/19)+cos(11*Pi/19),3)+surd(cos(9*Pi/19)+cos(13*Pi/19)+cos(15*Pi/19),3);
right:=(1/2-3*7^(1/3)+3/2*(-25+3*7^(2/3)+18*7^(1/3))^(1/3)+3/2*(-44+18*7^(1/3)+3*7^(2/3))^(1/3))^(1/3);
evalf(left-right);


Это число (левая и правая часть тождества) является корнем многочлена

$\large{8\,{x}^{9}+ \left(72\,\sqrt [3]{7} -12\right) {x}^{6}+ \left( 54\,\sqrt[3]{49}-18\,\sqrt [3]{7}+330 \right) {x}^{3}-\left(27\,\sqrt[3]{49}+9\,\sqrt [3]{7}+190}\right)$

Код:
8*x^9+(72*7^(1/3)-12)*x^6+(54*49^(1/3)-18*7^(1/3)+330)*x^3-(27*49^(1/3)+9*7^(1/3)+190)


Обсуждение этой формулы в ЖЖ: http://ru-math.livejournal.com/797774.html
На AOPS: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=461077

Я довольно долго трудился над сочинением сего тождества. Мне будет приятно услышать Ваше доказательство или комментарий. Спасибо.

 i  Deggial: код и формулы оформил

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество с cos(Pi/19) и кубическими корнями.
Сообщение30.01.2012, 08:39 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5446
Сергей Маркелов в сообщении #532962 писал(а):
$$\large{8\,{x}^{9}+ \left(72\,\sqrt [3]{7} -12\right) {x}^{6}+ \left( 54\,\sqrt[3]{49}-18\,\sqrt [3]{7}+330 \right) {x}^{3}-\left(27\,\sqrt[3]{49}+9\,\sqrt [3]{7}+190}\right)$$

Если избавиться от кубических корней в этом многочлене, то получится "эквивалентный" многочлен с теми же корнями:
$$512 x^{27} - 2304 x^{24} + 66816 x^{21} + 1731264 x^{18} + 2375712 x^{15} -$$
$$- 35180640 x^{12} + 85162776 x^9 - 86458572 x^6 + 39811194 x^3 - 6859000.$$
Поэтому подкоренное выражение правой части тождества является корнем многочлена:
$$512 x^9 - 2304 x^8 + 66816 x^7 + 1731264 x^6 + 2375712 x^5 -$$
$$- 35180640 x^4 + 85162776 x^3 - 86458572 x^2 + 39811194 x - 6859000$$
что очень похоже на многочлен из этого поста - http://ru-math.livejournal.com/797456.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество с cos(Pi/19) и кубическими корнями.
Сообщение15.03.2013, 18:50 


15/03/13
12
Недавно обнаружил упоминание об этом замечательном тождестве на сайте mapleprimes.com, куда я частенько захожу, на странице
http://www.mapleprimes.com/posts/144188-Trigonometric-Functions-In-Radicals#comment144497

На другой странице того же сайта
http://www.mapleprimes.com/posts/144499-Stunningly-Beautiful-Identity-Proved
приводится элегантное доказательство этого тождества с помощью Maple (используются команды для работы с алгебраическими числами evala и Normal).

На этом же сайте приведено моё доказательство этого результата. В этом доказательстве непосредственно строится многочлен, корнем которого является левая часть тождества. Этот многочлен полностью совпадает с многочленом, упоминаемым С. Маркеловым. Само доказательстве проводится с применением Maple, хотя кажется, что большинство преобразований достаточно легко провести и вручную.
Ссылка на страницу с этим доказательством
http://www.mapleprimes.com/posts/144605-Another-Proof-Of-Stunningly-Beautiful-Identity

 i  Deggial: Оформление команд исправлено.
Не используйте красный цвет для выделения текста - этот цвет зарезервирован для модераторов

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество с cos(Pi/19) и кубическими корнями.
Сообщение15.03.2013, 19:53 
Заслуженный участник


20/12/10
6510
Kitonum в сообщении #696182 писал(а):
В этом доказательстве непосредственно строится многочлен, корнем которого является левая часть тождества.
Пусть $r_i$ --- кубические корни в левой части. Многочлен$$
f(x)=\prod_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3} (x-\epsilon_1r_1-\epsilon_2r_2-\epsilon_3r_3),
$$где каждый $\epsilon_i$ пробегает систему корней 3-й степени из единицы, имеет степень 27, а все его коэффициенты --- рациональные числа. Последнее следует из того, что коэффициенты суть симметрические выражения от $r_1^3$, $r_2^3$, $r_3^3$, а элементарные симметрические выражения от них рациональны (как нетрудно проверить, они равны $1/2$, $-3/2$ и $-7/8$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество с cos(Pi/19) и кубическими корнями.
Сообщение15.03.2013, 22:11 


29/06/08
50
Рад, что Вам понравилось моё тождество. Спасибо за ссылки и за доказательства!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество с cos(Pi/19) и кубическими корнями.
Сообщение19.12.2015, 13:08 


03/10/15
2
Все подобные тождества можно записать с помощью одной формулы:
$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{\frac{p-4}{3}}\cos(\frac{2\pi }{p}\cdot a^{3k+2}) }=\sqrt[3]{6m-1-3\sqrt[3]{mp}}\ ;\ p=9m^{2}-3m+1\ ;\ $
$a$- это генератор мультипликативной группы вычетов по простому модулю $p$.
Вот примеры для конкретных значений $m$:
$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{1}\cos(\frac{2\pi }{7}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{3}\cos(\frac{2\pi }{13}\cdot2^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-7+3\sqrt[3]{13}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{9}\cos(\frac{2\pi }{31}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{11-3\sqrt[3]{2\cdot 31}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{13}\cos(\frac{2\pi }{43}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-13+3\sqrt[3]{2\cdot 43}}

$
$\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{23}\cos(\frac{2\pi }{73}\cdot5^{3k+2}) }=\sqrt[3]{17-3\sqrt[3]{3\cdot73}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{79}\cos(\frac{2\pi }{241}\cdot7^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-31+3\sqrt[3]{5\cdot241}}\qquad \sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k+1}) }+\sqrt[3]{\sum_{k=0}^{153}\cos(\frac{2\pi }{463}\cdot3^{3k+2}) }=\sqrt[3]{-43+3\sqrt[3]{7\cdot 463}}
$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group