Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум

[iowa]

Опишите, пожлауйста, план решения данной задачи (т.е. что делать первым, что вторым и т.д.):

$\int\limits_{\pi/2}^{\pi} (x'^2-x^2+(3t-1)x-2)dt$ \to \max(\min)

[Trius]

Решить уравнение Ейлера.

[iowa]

Чтобы исследовать вариационную задача на локальный экстремум, необходимо решить уравнение Эйлера:

$\frac{\partial_F}{\partial_x}-\frac{d}{dt} \frac{\partial_F}{\partial_{x'}}=0$

$F(t,x,x')=x'^2-x^2+3tx-x-2$

$\frac{\partial_F}{\partial_x}={-2x+3t-1}$

$\frac{\partial_F}{\partial_{x'}}=2x'$

$\frac{d}{dt} \frac{\partial_F}{\partial_{x'}}=2x''$

Получаем:
$-2x''-2x+3t-1=0$

Проверьте, пожалуйста, правильно ли составил уравнение.

[Trius]

Правильно, теперь решайте уравнение и используйте дополнительные условия, заданные в задаче.

[iowa]

А дополнительные условия должны быть обязательно? Вроде как их не было...
Или это я накосячил не переписав их?

[Trius]

Если не было, то значит условия трансверсальности надо использовать.

[iowa]

Начальные условия там все-таки были.

$x(0)=1$
$x(2)=0$

Решаем диф. уравнение:

$-2x''-2x+3t-1=0$

$x=C_1\sin(t)+C_2\cos(t)+\frac{3t}{2}-\frac{1}{2}$

Подставляем начальные условия и находим $C_1$ и $C_2$:

$C_1=\frac{3}{2}$

$C_2=\frac{5-3\cos2}{2\sin2}$

Получается, что

$x=\frac{3}{2}\sin(t)+\frac{5-3\cos2}{2\sin2}\cos(t)+\frac{3t}{2}-\frac{1}{2}$

А что делать дальше? Если можно, то объясните, пожалуйста, по-подробнее...

[iowa]

В предыдущем посту ошибку сделал, да и условия неудобные подобрал. Вот так будет красивее:

$x(0)=1$
$x(\frac{\pi}{2})=0$

$-2x''-2x+3t-1=0$

$x=c_2\sin(t)+c_1\cos(t)+\frac{3t}{2}-\frac{1}{2}$

Подставляем начальные условия:

$c_1=\frac{1}{2}$
$c_2=\frac{3\pi-1}{4}$

Получаем:

$x_0=\frac{3\pi-1}{4}\sin(t)+\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{3t}{2}-\frac{1}{2}$

Дальше буду писать только мои предположения. Просьба поправить в местах, где неправильно

Кто-то мне подсказал, что надо использовать условие Лежандра и Якоби.

Условие Лежандра: для минимума необходимо, чтобы во всех точках кривой $x(t)$ вторая производная от подинтегральной функции по $x$ была неотрицательна.

Получается, что нужно от $F(x)$ взять 2 производные по $x$?

[Trius]

А интеграл от $\pi/2$ до $\pi$? Тогда и условия должны быть в этих точках.
Можно использовать достаточные условия минимума, или рассмотреть прирост $G(x+h)-G(x)$, где $G$ минимизируемый функционал, $x$ найденная экстремаль, а функция $h\inC^1([\pi/2;\pi])$ такая, что $x+h$ тоже допустимая функция.