2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение29.01.2012, 19:35 


16/11/10
12
Опишите, пожлауйста, план решения данной задачи (т.е. что делать первым, что вторым и т.д.):

$\int\limits_{\pi/2}^{\pi} (x'^2-x^2+(3t-1)x-2)dt$ \to \max(\min)

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение29.01.2012, 20:44 


03/02/07
254
Киев
Решить уравнение Ейлера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение30.01.2012, 12:19 


16/11/10
12
Чтобы исследовать вариационную задача на локальный экстремум, необходимо решить уравнение Эйлера:

$\frac{\partial_F}{\partial_x}-\frac{d}{dt} \frac{\partial_F}{\partial_{x'}}=0$

$F(t,x,x')=x'^2-x^2+3tx-x-2$

$\frac{\partial_F}{\partial_x}={-2x+3t-1}$

$\frac{\partial_F}{\partial_{x'}}=2x'$

$\frac{d}{dt} \frac{\partial_F}{\partial_{x'}}=2x''$

Получаем:
$-2x''-2x+3t-1=0$

Проверьте, пожалуйста, правильно ли составил уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение30.01.2012, 14:09 


03/02/07
254
Киев
Правильно, теперь решайте уравнение и используйте дополнительные условия, заданные в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение30.01.2012, 14:16 


16/11/10
12
А дополнительные условия должны быть обязательно? Вроде как их не было...
Или это я накосячил не переписав их?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение31.01.2012, 12:08 


03/02/07
254
Киев
Если не было, то значит условия трансверсальности надо использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение01.03.2012, 17:54 


16/11/10
12
Начальные условия там все-таки были.

$x(0)=1$
$x(2)=0$

Решаем диф. уравнение:

$-2x''-2x+3t-1=0$

$x=C_1\sin(t)+C_2\cos(t)+\frac{3t}{2}-\frac{1}{2}$

Подставляем начальные условия и находим $C_1$ и $C_2$:

$C_1=\frac{3}{2}$

$C_2=\frac{5-3\cos2}{2\sin2}$

Получается, что

$x=\frac{3}{2}\sin(t)+\frac{5-3\cos2}{2\sin2}\cos(t)+\frac{3t}{2}-\frac{1}{2}$

А что делать дальше? Если можно, то объясните, пожалуйста, по-подробнее...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение02.03.2012, 14:38 


16/11/10
12
В предыдущем посту ошибку сделал, да и условия неудобные подобрал. Вот так будет красивее:

$x(0)=1$
$x(\frac{\pi}{2})=0$

$-2x''-2x+3t-1=0$

$x=c_2\sin(t)+c_1\cos(t)+\frac{3t}{2}-\frac{1}{2}$

Подставляем начальные условия:

$c_1=\frac{1}{2}$
$c_2=\frac{3\pi-1}{4}$

Получаем:

$x_0=\frac{3\pi-1}{4}\sin(t)+\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{3t}{2}-\frac{1}{2}$

Дальше буду писать только мои предположения. Просьба поправить в местах, где неправильно

Кто-то мне подсказал, что надо использовать условие Лежандра и Якоби.

Условие Лежандра: для минимума необходимо, чтобы во всех точках кривой $x(t)$ вторая производная от подинтегральной функции по $x$ была неотрицательна.

Получается, что нужно от $F(x)$ взять 2 производные по $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать вариационную задачу на лок. экстремум
Сообщение04.03.2012, 11:33 


03/02/07
254
Киев
А интеграл от $\pi/2$ до $\pi$? Тогда и условия должны быть в этих точках.
Можно использовать достаточные условия минимума, или рассмотреть прирост $G(x+h)-G(x)$, где $G$ минимизируемый функционал, $x$ найденная экстремаль, а функция $h\inC^1([\pi/2;\pi])$ такая, что $x+h$ тоже допустимая функция.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group