Cходимость в метрическом пространстве

[wcgrume]

Сходится ли в $C[0,1]$ последовательность $x_n(t) = t^n - t^{2n}$

Метрика $C[0,1]$ : $\rho(x,y) = \max_{[0,1]}|x(t) - y(t)|$

Решаю следующим образом. Данное пространство является полным. Следовательно, если докажем что последовательность фундаментальная, то докажем и исходную задачу.

$\rho(x_n,x_m) =\max_{[0,1]}|t^n - t^{2n} - t^m + t^{2m}| \mapsto 0$ при $n,m \mapsto \infty$

В ответах к учебнику указано, что не является сходящейся. В чем ошибка?

[ewert]

wcgrume в сообщении #532674 писал(а):

$\rho(x_n,x_m) =\max_{[0,1]}|t^n - t^{2n} - t^m + t^{2m}| \mapsto 0$ при $n,m \mapsto \infty$

Это утверждение взято с потолка и неверно. Присмотритесь к графикам этих функций: как ведёт себя положение точки максимума (оно легко считается) с ростом номера?...

[wcgrume]

Точка максимума стремится к 1, а сам максимум равен $1/2$

[ewert]

Ну не то чтобы именно одна вторая, но суть именно в этом. Теперь, если учесть ещё и значение всех этих функций в единице, нетрудно напрямую опровергнуть фундаментальность.

Только делать это совершенно ни к чему -- проще опровергнуть непосредственно сходимость. Ибо: если бы эта последовательность действительно равномерно сходилась, то она могла бы сходиться только к чему?...