условие разрешимости

[silas]

Помогите пожалуйста решить.
Нужно вычисляя как ранг матрицы коэф-ов , определить при всех ли правых частях система имеет решение :

\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 3{x_2} + 2{x_3} = {f_1} \hfill \\ 2{x_1} - {x_2} + 3{x_3} = {f_2} \hfill \\ 3{x_1} - 5{x_2} + 4{x_3} = {f_3} \hfill \\ {x_1} + 17{x_2} + 4{x_3} = {f_4} \hfill \\ \end{gathered} \right

[Someone]

В лекциях-то или в учебнике по этому поводу что сказано? Какое там условие разрешимости? Вот теорема Кронекера - Капелли, например, есть. Как она формулируется?

[gris]

А нет ли ошибки? Переменных только три? Зачем тогда ранг считать?

[silas]

Да , нужно как-то решить с помощью Кронекера -Капелли , но в учебнике чистая теория , а как все на реальном примере выглядит не ясно. Ошибки точно нет в усл-ии.

[mihailm]

Легко же все, надо доказать что если даны три четырехмерных вектора, то найдется один от них не зависящий

[Someone]

Ну так напишите основную и расширенную матрицы и посмотрите, какие у них могут быть ранги.

[silas]

У основной матрицы ранг =2 , это значит , что и у расширенной матрицы ранг должен быть равен двум? Проститe за тупость , а как дальше решать?

[Someone]

Вопрос-то в задаче какой?

[silas]

Нужно вычисляя как ранг матрицы коэф-ов , определить при всех ли правых частях система имеет решение

[ewert]

Откуда и следует, что польза от теоремы Кронекера-Капелли сводится чаще всего к вреду.

Ранг матрицы, помимо всего прочего -- это количество линейно независимых столбцов. В данном случае он для основной матрицы никак не может быть больше трёх (а если фактически равен двум -- так тем паче). В то же время столбец справа четырёхмерен и по условию произволен; следовательно, его можно выбрать линейно независимым от столбцов левой части. Т.е. так, чтобы количество линейно независимых столбцов расширенной матрицы оказалось больше, чем количество линейно независимых столбцов основной матрицы.

Вот, казалось бы, и Кронекер-Капелли. Однако ровно то же гораздо проще оформить словами

mihailm в сообщении #532584 писал(а):

если даны три четырехмерных вектора, то найдется один от них не зависящий

[Someone]

silas в сообщении #532617 писал(а):

определить при всех ли правых частях система имеет решение

Но если уж преподаватель требует непременно применить теорему Кронекера - Капелли, то нужно просто найти (придумать) такой столбец свободных членов, чтобы ранг расширенной матрицы был больше ранга основной матрицы. Обычно годится первый попавшийся со "случайными" элементами.

А вообще, ewert и mihailm правы: содержательная интерпретация ранга как максимального числа линейно независимых столбцов (или строк) матрицы во многих случаях позволяет обойтись без вычислений. В частности, и в данной задаче (если, например, знать теорему о том, что в конечномерном линейном пространстве всякую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса).

[silas]

Ох. Т.е. нужно , чтобы ранг расширенной матрицы был больше ранга основной , но разве это теорема Кронекера - Капелли разрешимости при любом f ? Нельзя сказать , что ранг осн. матрицы меньше числа неизвестных и система имеет бесконечное множество решенийй?

[silas]

Вот другая СЛАУ на эту же тему . Проверте пожалуйста правильное ли решение .

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Дубль удален. Замените картинки на формулы. Вот образец - один из возможных способов набора матриц:

$$\left( \begin{array}{cc|c} a & b & c \\ x & y & z \\ \end{array} \right) $$