Числа, не представимые в виде p^q-r

[Ktina]

Конечно или бесконечно множество всех натуральных чисел, не представимых в виде $p^q-r$?
(p, q, r - простые)

[Руст]

Нечетное число получается только, если $p$ или $r$ равен 2.
Если $p=2, q=2$, получаем значения только $x=2,3$.
При $p=2,r=3,q\ge 3$ получаем редкие числа $x=2^q-3=2\mod 3$. При $p=2,r>3, q\ge 3$ не получаем числа вида $x=5\mod 6$.
Значения $p^q-2$ могут дать такой остаток, но их мало. Поэтому бесконечно много чисел вида $x=5\mod 6$ не представимы в таком виде. Это те х, для которых $x+2$ не является степенью $p^q$ и $x+3$ не является степенью двойки.

[Null]

Числа $n=6l+5$ такие что $5|n+3$ и $77|n+2$ вроде подходят.

[Ktina]

Годятся квадраты достаточно больших факториалов, увеличенные на 11.
В этом случае, если $p=2$, то $r=3$, но $((n>12)!)^2+14$ делится на 2, но не на 4.
Если же $p$ нечётно, то $r=2$, но $((n>12)!)^2+13$ делится на 13, но не на 169.
Противоречие.

Так ведь?