Ландау-Лившиц, равенство с производными

[Aleksey574]

почему

$$\xi^i^;^k+\xi^k^;^i=-\xi^l\frac{\partial g^i^k}{\partial x^l}+g^i^l\frac{\partial \xi^k}{\partial x^l}+g^k^l\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}$$

это из книги Ландау Лившица т.2 между (94,1) (94,2), не могу разобраться.

[Aleksey574]

помогите кто-нибудь

PAV:

Замечание за поднятие темы и бессодержательный заголовок (исправлено).

[svv]

0. Обозначим Ваше выражение
$S^{ik}=\xi^{i:k}+\xi^{k:i}$

1. По определению "контравариантной производной" (параграф 85 "Ковариантное дифференцирование") имеем:
$\xi^{i:k}=g^{kl}{\xi^i}_{:l}$
$\xi^{k:i}=g^{il}{\xi^k}_{:l}$
Поэтому
$S^{ik}=g^{kl}{\xi^i}_{:l}+g^{il}{\xi^k}_{:l}$

2. Раскроем ковариантные производные (тот же параграф):
${\xi^i}_{:l}=\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}+\Gamma^i_{ml}\xi^m$
${\xi^k}_{:l}=\frac{\partial \xi^k}{\partial x^l}+\Gamma^k_{ml}\xi^m$
Значит,
$S^{ik}= g^{kl}\left(\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}+\Gamma^i_{ml}\xi^m\right)+ g^{il}\left(\frac{\partial \xi^k}{\partial x^l}+\Gamma^k_{ml}\xi^m\right)=$
$=g^{kl}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}+g^{il}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^l}+g^{kl}\Gamma^i_{ml}\xi^m+g^{il}\Gamma^k_{ml}\xi^m$

3. В последних двух слагаемых поменяем местами индексы $l$ и $m$ (это возможно, так как они немые) и вынесем $\xi$ за скобку:
$S^{ik}=g^{kl}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^l}+g^{il}\frac{\partial \xi^k}{\partial x^l}+\left(g^{km}\Gamma^i_{lm}+g^{im}\Gamma^k_{lm}\right)\xi^l$

4. Уже очень похоже на то, что надо получить. Остается доказать, что
$g^{km}\Gamma^i_{lm}+g^{im}\Gamma^k_{lm}=-\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}$
А это формула (86,8) (в седьмом издании). Она получается из ${g^{ik}}_{:l}=0$, как там и сказано.

[Aleksey574]

спасибо, вроде всё понятно