Найти предел

[myra_panama]

Найти:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\sum\limits_{1\leq i_{1}< ... < i_{k}\leq n}\frac{2^{k}}{[(i_{1}+1)(i_{2}+1)]\cdots[(i_{k}+1)(i_{k}+2)]}\right).$$

[kw_artem]

Можно вопрос: а что означает неравенство под вторым знаком суммы?

[svv]

Суммирование по всем комбинациям $i_1, ... , i_n$, которые удовлетворяют указанному условию, причем каждая комбинация используется ровно один раз.
В Википедии в статье Сумма (математика) найдите фразу "Для удобства вместо..."

[kw_artem]

(Оффтоп)

Ага спасибо

-- 26.01.2012, 21:45 --

все равно по условию тупить продолжаю. в знаменателе второй суммы, там во всех скобках единица прибавляется, только в последней скобке два прибавляют,так?

[svv]

А индекс, наоборот, застыл. Надо, чтобы ТС уточнил.

[EtCetera]

По-видимому, имеется в виду следующая сумма:

$$L^{(n)}=\sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot 2^k\cdot A^{(n)}_k$$

где

$$A^{(n)}_k=\sum\limits_{1\le i_1<i_2<\ldots <i_k\le n}\left(\prod\limits_{m=1}^k (i_m+1)\right)^{-1}$$

Очевидно, что

$$A^{(n)}_k-A^{(n-1)}_k=\dfrac{1}{n+1}A^{(n-1)}_{k-1}$$

Заметим, что $A^{(n)}_1=H_{n+1}-1$ ($H_n$ $\text{---}$ $n$-ое гармоническое число) и $A^{(n)}_n=\dfrac{1}{(n+1)!}$, поэтому $A^{(n)}_1-A^{(n-1)}_1=\dfrac{1}{n+1}$ и $A^{(n)}_n=\dfrac{1}{n+1}A^{(n-1)}_{n-1}$.
Тогда
\begin{multline*}L^{(n)}-L^{(n-1)}=2\cdot \dfrac{1}{n+1}+\sum\limits_{k=2}^{n-1}(-1)^{k+1}\cdot 2^k\left(A^{(n)}_k-A^{(n-1)}_k\right)+(-1)^{n+1}\cdot 2^n\cdot A^{(n)}_n=\\ \shoveleft{=2\cdot \dfrac{1}{n+1}\left(1-\left(\sum\limits_{k=2}^{n-1}(-1)^{k}\cdot 2^{k-1}A^{(n-1)}_{k-1}+(-1)^n\cdot 2^{n-1}\cdot A^{(n-1)}_{n-1}\right)\right)=}\\\shoveleft{=2\cdot \dfrac{1}{n+1}\left(1-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-2}(-1)^{k+1}\cdot 2^k A^{(n-1)}_k+(-1)^n\cdot 2^{n-1}\cdot A^{(n-1)}_{n-1}\right)\right)=2\cdot \dfrac{1}{n+1}\left(1-L^{(n-1)}\right)}\end{multline*}
Но $L^{(1)}=2\cdot \dfrac{1}{1+1}=1$, поэтому $L^{(n)}-L^{(n-1)}=0$ и $L^{(n)}=1$. Соответственно, и предел равен единице.