Дифференциальное уравнение второго порядка

[rosa]

$xyy''+3x^3y'^2-yy'=0$
$y(1)=y'(1)=1$
Просто надо решить. А я даже не знаю с чего начать и какой вид у уравнения. Порядок не понижается, не линейное.

[svv]

Подставьте
$y=e^t$
$y'=e^t t'$
$y''=e^t (t't'+t'')$
Тогда $e^t$ благодаря однородности сократится. И после этого $t$ в уравнение входить не будет, только $t'$ и $t''$. Это даст возможность понизить порядок.

Напишите, что получилось, я проверю.

[rosa]

svv, спасибо огромное. Порядок понизился, но...
$xp'=3x^3p^2-xp^2-p$,вот такое уравнение получилось, после того, как я заменила $t'=p$, $p=p(x)$, $t''=p'$
И не знаю, как дальше...

[myra_panama]

если сделать замену : $y'=y\cdot t$ , то получим уравнение:
$xt'+(x+3x^3)t^2-t=0$

после деление на $t^2$ получим линейную уравнению

$-(\frac1{t})'-\frac1{xt}+(1+3x^2)=0$

$\frac1t=z$

$z'+\frac{z}x=-(1+3x^2)$

[svv]

myra_panama: OK
Другой вариант:

rosa писал(а):

$xp'=3x^3p^2-xp^2-p$

Да, правильно. Теперь сделайте замену
$p=\frac 1{xu}$
$p'=-\frac {u+xu'}{x^2 u^2}$
Обещаю грандиозное упрощение. И тоже напишите, что получилось, я проверю.