$(k+1)^3=k^3+y^3$ Решение

[barsukov]

$(k+1)^3=k^3+y^3$ Решение.
Любое число в кубе, если оно не делится на 9, дает в остатке плюс или минус единицу. Один из членов ВТФ третьей степени делится на 3, иначе при любом раскладе левая часть уравнения не будет соизмерима правой по модулю 9. Из формулы

$$ (k+1)^3=k^3+y^3 \eqno(1) $$

$$ 3k^2+3k+1=y^3 \eqno(2) $$

видно что $ y \equiv1 mod{3} $
Рассмотрим случай $ k \equiv0 mod0{3} $
Обозначим $ k+1=wz \quad k=3s_0t $ тогда из формулы (1)

$$ k+1-y=3^2s_0^3 \eqno(3) $$

$$ (k+1)^2+(k+1)y +y^2=3t^3 \eqno(4) $$

$$ k+y=z^3 \eqno(5) $$

$$ k^2+ky+y^2=w^3 \eqno(6) $$

Из формулы (5) $ z \equiv1 mod{3} \quad z^3 \equiv1 mod{3^2} $ и следовательно из формул (5)(6) $ k+1-y \equiv0 mod{3^2} \quad k+y \equiv1 mod{3^2} \quad k \equiv0 mod{3^2} \quad s=3s_0 \quad k=3^2st \quad y \equiv1 mod{3^2} $ и следовательно

$$ k+1-y=3^5s^3 \eqno(7) $$

Из формул (2)(5)(7)

$$ 3z^6-6z^3y-3y^2+3z^3-3y+1=y^3 $$

$$ 3z^6-6z^3y+3z^3=Y^3-3y^2+3y-1 $$

$$ 3z^3(z^3-2y+1)=(y-1)^3 $$

$$ y-1=3^2sz \eqno(8) $$

Из формул (5)(8) $ z^3-k-1=3^2sz $ $ z^3-wz=3^2sz $

$$ w=z^2-3^2s \eqno(9) $$

Из формулы (7) $ 3^2st-3^2sz=3^5s^3 $

$$ t=3^3s^2+z \eqno(10) $$

$$ wz-3^2st=1 $$

Из формул (9)(10) $ Z^3-3^2sz-3^2st=1 $

$$ z^3-1=3^2s(z+t) \eqno(11) $$

$$ (z-1)(z^2+z+1)=3^2s(2z+3^3s^2) $$

$$ s=s_1s_2 \quad z-1=3s_1m \eqno(12) $$

$$ z^2+z+1=3s_2n \eqno(13) $$

$$ 2z+3^3s_1^2s_2^2=mn \eqno(14) $$

$n$ и $m$ общие делители соответствующих выражений. Из формул (12)(13)

$$ 3s_1^2m^2+z=s_2n \eqno(15) $$

Из формул (14)(15)

$$ 3s_1^2(3^2s_2^2-2m^2)=n(m-2s_2) $$

При $ 2s_2>m $ $ n $ будет отрицательным числом

$$ 3^2s_2^2-2m^2=nq $$

$$ m-2s_2=3s_1^2q $$

Тогда $ m^2 \equiv 4s_2^2 mod{q} \quad s_2^2 \equiv0 mod{q} \quad m\equiv0 mod{q} $
Из формулы (14) $ z \equiv0 mod{q} $ Следовательно $ q=1 $ Иначе члены ВТФ имеют общий делитель, который можно сократить. И в итоге

$$ 3^2s_2^2-2m^2=n \eqno (16) $$

$$ m-2s_2=3s_1^2 \eqno (17) $$

Из формул (15)(17)

$$ m^3-2s_2m^2+z=s_2n $$

$$ m_3+z=s_2(n+2m^2) $$

И из формулы (16)

$$ m^3+z=3^2s_2^3 \eqno(18) $$

$ m^3 \equiv-1 mod{3^2 \quad z \equiv1 mod{3^2} $ И из формулы(12) $ s_1=3s_11 $ и тогда из (16)(17) $ s_2 \equiv n mod{3^3} И из (15) $ s_2n \equiv1 mod{3^2} \quad s_2+n =2 \quad s_2 equiv1 mod{3^2} $
Из формулы(17) $ m \equiv2 mod{3^2} \quad m^3 \equiv8 mod{3^3} \quad z \equiv 1 mod{3^3} $ И из формулы (12) $ s_1=3^2s_12 $ И тогда из формул(16)(17) $ s_2n \equiv1 mod{3^5] $ И Из формул(15) $ s_2n \equiv1 mod{3^3} \quad s_2+n \equiv2 mod{3^3} \quad s_2 \equiv1 mod{3^3} \quad m \equiv2 mod{3^3} \quad m^3 \equiv8 mod{3^4} $ И из формулы(18) $ z \equiv1 mod{3^4} $ И этот процесс будет бесконечен. Решение уравнения (1) в целых числах при $ k \equiv0 mod{3} $ исключено. Действия для случая $ k+1 \equiv0 mod{3} выполняются подобным образом. Результат аналогичен. Уравнение $ (k+1)^3=k^3+y^3 $ не разрешимо в целых числах.
.

[nnosipov]

barsukov в сообщении #531305 писал(а):

Решение уравнения (1) в целых числах при $ k \equiv0 mod{3} $ исключено.

А как же $k=0$, $y=-1$? Это разве не решение в целых числах?

[PAV]

Тема перемещена из "ВТФ" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Формулы плохо читабельны. Предложения нужно разделять точками. mod нужно набирать так:

$$ m\equiv0 \mod{q} $$

Предложения должны быть построены таким образом, чтобы в тексте не встречались подряд ничем не разделенные формулы типа как здесь

Цитата:

Из формул (5)(8) $ z^3-k-1=3^2sz $ $ z^3-wz=3^2sz $