Школьное неравенство

[DLL]

Найдите все значения $x$, при каждом из которых неравенство
$(2 - a)x^3 + (1 - 2a)x^2 - 6x + (5 + 4a - a^2 ) < 0$
выполняется хотя бы при одном
$a \in [ - 1;2)$.

[Dosaev]

Если $x$ - параметр, то получаем квадратный трехчлен относительно $a$. Далее стандартно.

[DLL]

Dosaev в сообщении #531183 писал(а):

Если $x$ - параметр, то получаем квадратный трехчлен относительно $a$. Далее стандартно.

Это да, но что далее?

[DLL]

Теоретически можно было бы воспользоваться формулами Кордано, но даже не считая - очень громоздко... Может кто-нибудь видит идеи попроще?

[kw_artem]

поломал голову, но похоже через Кардано придется

[hippie]

Ответ: $x\in (-\infty;\ -2)\cup (0;\ 1)\cup(1;\ \infty).$

Вследствие непрерывности функции, можно заменить полуинтервал $[-1;\ 2)$ на отрезок $[-1;\ 2].$

Перепишем левую часть неравенства в виде $-a^2 +(-x^3 -2x^2 +4)a+(2x^3 +x^2 -6x+5).$ Эта функция (по переменной $a$) выпукла вверх. Следовательно, если она принимает неотрицательные значения на концах отрезка, то она неотрицательна на всём отрезке.

Определим, при каких $x$ значение функции отрицательно при $a=-1$ или при $a=2.$

I. $a=-1.$
$3x^3 +3x^2 -6x <0, x\in (-\infty;\ -2)\cup (0;\ 1).$

II. $a=2.$
$-3x^2 -6x+9<0, x\in (-\infty;\ -3)\cup (1;\ \infty).$

И никаких Кардано!

[DLL]

Красивое решение. Спасибо!