Сигма-алгебра

[xmaister]

Здравствуйте!
Пусть $\mathcal{A}_0$- $\sigma$-алгебра и $S\not\in\mathcal{A}_0$. Нужно доказать, что множества принадлежащие $\sigma$-алгебре $\sigma(\mathcal{A}_0\cup \{S\})$, порождённой семейством $\mathcal{A}_0\cup \{S\}$ имеют вид: $E=(A\cap S)\cup (B\cap (X\setminus S)),A,B\in\mathcal{A}_0$.

Рассматриваю $X\setminus E=((X\setminus A)\cup(X\setminus S))\cap ((X\setminus B)\cup S)=$
$((X\setminus A)\cap (X\setminus B))\cup ((X\setminus A)\cap S)\cup ((X\setminus S)\cap (X\setminus B))$ и не получается к исходному виду привести... Помогите.

[loldop]

Введите, пожалуйста, пространство $X$
А что вы пытаетесь и к чему привести?

[Nimza]

В таких обозначениях трудно усмотреть требуемую форму. Тут удобно обозначить $X \setminus A = \overline{A}$.

$X \setminus E = \overline{E} = \overline { [A \cap S] \cup [B \cap \overline{S}] }$

Тогда требуемый Вами вид практически сразу получается применениями правил де Моргана, использованием свойств дистрибутивности и $X = S \cup \overline{S}$.