Призма

[reformator]

в правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt{3}$, а боковое ребро $AA_1=4$. Найти угол между $AB_1$ и плоскостью $BCA_1$

Вроде как такой должен быть рисунок



Что-то мне воображение подсказывает, что угол между $AB_1$ и плоскостью $BCA_1$ равен углу между $CH_1$ и $AB_1$. Правильно?

Не знаю, как это правильно объяснить на математическом языке!

-- 22.01.2012, 21:04 --

Если мое предположение верно, то ...

Найти искомый угол можно из треугольника $CH_1B_1$.

По теореме Пифагора для треугольника $BB_1C$ нашел $B_1C=2\sqrt 7$

$H_1B_1=\sqrt 7$ -- половинка $B_1C$



Теперь не знаю как найти $CH_1$

Если его найти, то можно искомый угол вытащить из теоремы косинусов для треугольника $CH_1B_1$ [/off]

[reformator]

[Dan B-Yallay]

reformator в сообщении #530048 писал(а):

Что-то мне воображение подсказывает, что угол между $AB_1$ и плоскостью $BCA_1$ равен углу между $CH_1$ и $AB_1$. Правильно?

Это было бы верно если б $B_1H_1$ было перпендикулярно $CH_1$. Что в общем случае необязательно.

[reformator]

То есть точка $H_1$ не обязательно лежит на $A_1B$?

[reformator]

Сейчас должно быть что-то адекватное!
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt{3}$, а боковое ребро $AA_1=4$. Найти угол между $AB_1$ и плоскостью $BCA_1$



Искомый угол $\varphi$ - это угол между $DH_1$ и $H_1A$

Его можно найти по через выражение \sin\varphi=\dfrac{AD}{AH_1}

Найдем $AD$ и $AH_1$

По теореме Пифагора для $\Delta AA_1B_1$

$AB_1^2=AA_1^2+A_1B_1^2$

$AB=A_1B_1=2\sqrt 3$

$AB_1^2=(2\sqrt 3)^2+4^2=4\cdot 3+16=4(3+4)=4\cdot 7$

$AB_1=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt 7$

Диагонали Прямоугольника $A_1B_1BA$ точкой пересечения $H_1$ делятся пополам

=> $AH_1=\frac{AB_1}{2}=\sqrt 7$

Найдем $AD$ из треугольнка $\Delta AA_1M$

Предварительно посчитаем стороны этого треугольника.

Так как в основании призмы -- правильный треугольник, то его высота $AM$ (которая является
одновременно медианой и биссектрисой) AM=\sqrt{3}AB/2=3

По теореме Пифагора для треугольнка $\Delta AA_1M$

$A_1M^2=AM^2+AA_1^2=3^2+4^2=25$

$A_1M=5$

Пусть угол между $AM$ и $MD$ будет $\alpha$

$\sin\alpha=\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{AA_1}{A_1M}$

Тогда $\dfrac{AD}{3}=\dfrac{4}{5}$

=> $AD=\dfrac{12}{5}$

\sin\varphi=\dfrac{AD}{AH_1}=\dfrac{12}{5\sqrt 7}

Искомый угол $\varphi=\arcsin\Big(\dfrac{12}{5\sqrt 7}\Big)$
Похоже на правду?

(тут мистика какая-то)

Пусть $AD=x$

Пусть $A_1D=y$

Тогда $x^2+y^2=16$ (1) (по теореме Пифагора для $\Delta AA_1D$

Тогда $(5-y)^2=x^2+9$ (2)

Выразим $x^2=16-y^2$ из (1) и подставим в (2)

$(5-y)^2=16-y^2+9$

$25-10y+y^2=25-y^2$

$2y^2-10y=0$

$2y(y-5)=0$

Либо $y=5$, либо $y=0$ ($y=0$ нас не устраивает, тк в этом случае $D$ совпадает с $A_1$ и
искомый угол $\phi$ будет углом между диагоналями параллелограмма, то есть $\varphi=90$ градусов)

$y=5$ => $x^2=0$

Занавес...

[reformator]

А можно ли еще векторным способом решить? А ответ правильный у меня получился?