Красные и синие точки на прямой (логическая)

[Ktina]

Найти наименьшее целое $n>2$, для которого справедливо следующее:
При любой раскраске $n$ различных точек $A_1, A_2, \dots , A_n$ на прямой таких, что $A_1A_2=A_2A_3=\dots =A_{n-1}A_n$ в красный и синий цвета найдутся три точки $A_i, A_j, A_{2j-i}$ одного цвета.

[Dave]

Я предполагал, что в условии подразумевается $i \ne j$ и у меня получилось, что $n=8$. При $n=7$ получается такая раскраска: $R,B,R,B,B,R,R$. Несложный перебор вариантов для $n=8$ здесь приводить не буду.

[Ktina]

Dave в сообщении #529705 писал(а):

Я предполагал, что в условии подразумевается $i \ne j$ и у меня получилось, что $n=8$. При $n=7$ получается такая раскраска: $R,B,R,B,B,R,R$. Несложный перебор вариантов для $n=8$ здесь приводить не буду.

Восемь точек можно раскрасить так: $RRBBRRBB$.

[Dave]

Ktina в сообщении #529711 писал(а):

Восемь точек можно раскрасить так: $RRBBRRBB$.

Уговорили, полный перебор - это плохое дело. Придётся давать доказательство, что $n=9$ подходит.
Допустим, что нет указанной в условии тройки одного цвета. Пусть, для определённости, точка $A_5$ - красная. Тогда, если обе точки $A_4$ и $A_6$ синие, то точки $A_3$ и $A_7$ должны быть обе красными и вместе с $A_5$ образуют нужную тройку - противоречие.
Если же одна из точек $A_4$ и $A_6$ красная (обе не могут быть), то пусть это будет, для определённости, $A_4$, иначе "перевернём" прямую относительно $A_5$. Точка $A_6$ синяя. Последовательно находим, что точка $A_3$ - синяя ($\{A_3,A_4,A_5\}$), точка $A_9$ - красная ($\{A_3,A_6,A_9\}$), $A_1$ - синяя ($\{A_1,A_5,A_9\}$), точка $A_2$ - красная ($\{A_1,A_2,A_3\}$), $A_8$ - синяя ($\{A_2,A_5,A_8\}$), тогда, ввиду троек $\{A_5,A_7,A_9\}$ и $\{A_6,A_7,A_8\}$ точка $A_7$ должна быть жёлтой (нравится мне этот цвет ).

[Ktina]

Моё доказательство похоже. Если третья и пятая точки - одного цвета (пусть красные), тогда 4 синяя, 7 синяя и 1 синяя. Не катит. Значит, 3 и 5 разного цвета. Аналогично, 5 и 7 разного цвета, 4 и 6 тоже.
Пусть 3 красная, тогда 5 синяя и 7 красная. Если 4 красная, то 1 синяя, а если 6 красная, то 9 синяя - это два симметричных варианта. Пусть 4 красная и 1 синяя. Тогда 9 красная. Но тогда 8 синяя, а значит 2 красная. Но тогда 2, 3 и 4 - три красные подряд. Противоречие.

[ins-]

It is a problem from Bulgarian Math Olympiad - Regional /former third/ round - 1998. The proposer is Emil Kolev.
When I was in 11-th grade I participated at this olympiad. You can find the author's idea here:
http://www.math.bas.bg/bcmi/ . Note that it is not needed the segments to be equal.

(Оффтоп)

Ktina is it you at your avatar?