Комплексный Анализ

[Dan B-Yallay]

1) Дана голоморфная на единичном диске $ f: D \rightarrow D$, $ |f(z)| \le 1 $ . Доказать что
$\frac{|f(0)| - |z|} {1+|f(0)||z|} \le |f(z)| \le \frac{|f(0)| + |z|} {1-|f(0)||z|}$, $\forall z \in D$.


2) C той же функцией $ f: D \rightarrow D$ , если имидж единичного диска $D$ лежит внутри компактного подмножества того же диска, доказать что фунция имеет единственную неподвижную точку.

[RIP]

1) Используйте лемму Шварца для функции

$$g(z)=\frac{f(z)-f(0)}{1-\overline{f(0)}f(z)}$$

Добавлено спустя 9 минут 12 секунд:

2) Используйте теорему Руше

[Dan B-Yallay]

OK, Spasibo !