оптика, спектр сигнала, задача

[Groging]

Здравствуйте, прошу помочь в решении задачи.

Выбрал вроде самую простую задачу из самой простой темы, но не знаю, как и её решать (а всего тем 4, и из каждой нужно решить задачу :(


В пределах интервала длительностью t сигнал представляет собой
гармоническое колебание с частотой n0 и постоянной амплитудой, вне этого
интервала сигнал равен нулю. Найти спектр этого сигнала
непосредственными вычислениями, а также используя свойства
преобразования Фурье.

[math]$Spectr=\frac{1}{2\pi }\int_{-inf}^{inf}{\alpha(t) e^{-in_0t}} $

Верно ли я понимаю, что $ \alpha(t)=A*sin(n_0t) $ от -t/2 до t/2 и 0 в остальных местах?

Спасибо.

[Munin]

Да, можно так считать (а можно считать и иначе, например, выбрать не синус, а косинус, интервал не $(-\tfrac{t}{2},\tfrac{t}{2}),$ а $(0,t)$).

Бесконечность пишется \intfy, синус и косинус - начинаются с обратной косой черты, под знаком интеграла нельзя забывать переменную интегрирования, умножение никогда не обозначается звёздочкой.

[мат-ламер]

Формулу преобразования Фурье надо бы поточнее написать. Частота бывает в радианах и герцах. Для герцев нужен дополнительный множитель $2\pi$.

[Groging]

Понятно, спасибо.

А как решить, используя св-ва преобразования Фурье?

Представить синус через экспоненту, разбить интеграл на сумму двух, и рассмтривать сдвиг фазы спектра?

Цитата:

Формулу преобразования Фурье надо бы поточнее написать. Частота бывает в радианах и герцах. Для герцев нужен дополнительный множитель

спасибо!
а как определить, какая частота тут имеется в виду по тексту задачи?
Или, если размерность была бы [рад/c], было бы написано о колебании с угловой частотой $n_0$ ?

-- 20.01.2012, 20:45 --

а, и ещё:

везде ли я должен заменить $n_0$ на $2\pi n_0 $ ?

И почему в альфе и в показателе экспоненты частоты одинаковые?
Ведь $e^{iwt} $ по идее не имеет никакого отношение к $\alpha(t) $

Я понял, что я этого совершенно не понимаю...

[мат-ламер]

Groging в сообщении #529418 писал(а):

И почему в альфе и в показателе экспоненты частоты одинаковые?

А они неодинаковые. Преобразование Фурье всё-таки выпишите. Вы там в следующей строчке как-бы на $\omega$ намекаете.

[Munin]

Groging в сообщении #529418 писал(а):

А как решить, используя св-ва преобразования Фурье?

Функцию можно представить как произведения и суммы других функций.

[Groging]

Вот так получается?

$ \frac{A}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2}{\sin(n_0t) e^{-2i\pi n_0t}}dt $

-- 20.01.2012, 22:51 --

, где T - длительность сигнала (в изначальном условии t)

[Groging]

ерунду написал, и под синусом циклическая чистота, и в экспоненте тоже циклическая частота

[Groging]

проснулся, посмотрел и понял, что опять ерунду написал - спектр у меня получается постоянным.
запутался полностью, честно говоря

[Munin]

Да посмотрите формулу в справочнике!