Компактно или нет множество

[Fantome]

Помогите разобраться, пожалуйста...
Компактно или нет множество в $\mathbb R^3$
A=[-1,1]x[0,1]x(-1,0]

[PAV]

Давайте сначала более простой случай рассмотрим: множество в $\mathbb R^2$

$$ A=[0,1]\times [0,1) $$

оно компактно или нет? Свои соображения по задаче напишите, пожалуйста.

-- Пт янв 20, 2012 16:06:56 --

Если этот вопрос вызывает затруднение - тогда ответьте насчет одномерного $[0,1)$

(и на самом деле все эти три случая рассматриваются однотипно)

[Профессор Снэйп]

НЕТ, не компактно

Рассмотрите последовательность $(1,1,a_n)$, где $a_n$ стремится к $=-1$ сверху. И учтите, что все компактные множеств замкнуты.

[Fantome]

Цитата:

Свои соображения по задаче напишите, пожалуйста

Насколько я понимаю нужно воспользоваться критерием компактности, т.е. множество должно быть ограничено и замкнуто. Написанное вами множество ограничено, но насколько я понимаю не замкнуто, поскольку замкнутое множество должно содержать предельные точки, а в данном случае [0,1), т.е. 1 не содержит.
Я так понимаю?

[Профессор Снэйп]

Да, Вы всё правильно понимаете. И с примерами PAV, и со своим примером, надеюсь, тоже.

[Fantome]

Профессор Снэйп, PAV спасибо огромное!