Вопрос к теоретикам чисел

[kw_artem]

Пусть $P(x)=\frac {C_x}{\ln x}$ -- вероятность, что число $x$ простое. И пусть у нас имеется набор нечетных чисел

$$a_1, a_2, a_3, \cdots,a_n.$$

Тогда можно ли утверждать, что среди них есть хотя бы одно простое, если выполняется неравенство:

$$\sum \limits_{i=1}^n P(a_i)=C_{a_n} \cdot \sum \limits_{i=1}^n \frac 1 {\ln a_i}>1 ?$$

-- 19.01.2012, 23:18 --

Вроде все логично. Мы складываем вероятности и получаем общую вероятность того, что хотя бы одно число из набора окажется простым. Поэтому очевидно в правой части неравенства единица.

[venco]

kw_artem в сообщении #529017 писал(а):

:wink:
Пусть $P(x)=\frac {C_x}{\ln x}$ -- вероятность, что число $x$ простое.

А что такое $C_x$?

kw_artem в сообщении #529017 писал(а):

И пусть у нас имеется набор нечетных чисел

$$a_1, a_2, a_3, \cdots,a_n.$$

Тогда можно ли утверждать, что среди них есть хотя бы одно простое, если выполняется неравенство:

$$\sum \limits_{i=1}^n P(a_i)=C_{a_n} \cdot \sum \limits_{i=1}^n \frac 1 {\ln a_i}>1 ?$$

-- 19.01.2012, 23:18 --

Вроде все логично. Мы складываем вероятности и получаем общую вероятность того, что хотя бы одно число из набора окажется простым. Поэтому очевидно в правой части неравенства единица.

Вы неправильно складываете вероятности. То, что у вас получилось - мат-ожидание количества простых чисел в наборе. А вероятность встретить хотя бы одно простое число можно посчитать по гораздо более сложной формуле, которая должна ещё включать совместные вероятности для двух и более чисел.

[INGELRII]

И вообще, если вероятность какого-то события получилась больше единицы, то сразу ясно, что где-то тут ошибка

[bot]

kw_artem в сообщении #529017 писал(а):

Пусть $P(x)= \ldots$ -- вероятность, что число $x$ простое.

А что это такое, пусть даже и без $\ldots$?

[Joker_vD]

Да-да, вы как $x$ выбираете? Наугад из $\mathbb N$? Это невозможно: topic42865.html

[Sonic86]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #529209 писал(а):

Да-да, вы как $x$ выбираете? Наугад из $\mathbb N$? Это невозможно:

Кстати, надо бы попробовать эту фразу по умолчанию формализовывать как вероятность того, что $x$, выбранный на отрезке $[1;x]$, обладает свойством $P$. Вроде бы адекватно получится.

[kw_artem]

INGELRII в сообщении #529155 писал(а):

И вообще, если вероятность какого-то события получилась больше единицы, то сразу ясно, что где-то тут ошибка

Точняк !! Верное замечание сам как-то не заметил

-- 20.01.2012, 15:08 --

$C_x$ -- это константа, зависящая от $x$.

venco в сообщении #529054 писал(а):

Вы неправильно складываете вероятности. То, что у вас получилось - мат-ожидание количества простых чисел в наборе. А вероятность встретить хотя бы одно простое число можно посчитать по гораздо более сложной формуле, которая должна ещё включать совместные вероятности для двух и более чисел.

Согласен, что в сумме намудрил. Только не пойму почему сумма является математическим ожиданием. Ведь у нас распределение дискретное.

-- 20.01.2012, 15:09 --

bot в сообщении #529203 писал(а):

А что это такое, пусть даже и без ?

Извините, не понял что не так

-- 20.01.2012, 15:33 --

Joker_vD в сообщении #529209 писал(а):

Да-да, вы как выбираете? Наугад из ?

Да, прочитал топик. Но в той задаче $x$ выбирался из бесконечного множества... Хотя вы правы. Ведь мы для каждого $a_i$ определяем вероятность только в его промежутке $[1,a_i]$. И, если движемся по возрастанию члена в последовательности, то постоянно нужно будет включать все новые и новые целые числа в отрезок $[1,a_i]$.
Если так, то проблема эта решается, если изначально фиксировать отрезок по максимальному члену в данной последовательности, а потом уже на нем определить вероятность. Возможно?

[Cash]

Если $P(x)$- вероятность того, что $x$ - простое, то она равна $1$, если $x$ - простое и $0$, если составное.
Может быть вы все таки имеете ввиду вероятность того, что наудачу взятое натуральное числе, меньшее $x$ будет простым?

Цитата:

$C_x$ -- это константа, зависящая от $x$.

А чем константа, зависящая от $x$, отличается от функции от $x$?

[kw_artem]

Cash,
на счет $P(x)$. Вначале -- неверно, в смысле в условии вопроса неверно определена эта вероятность.($x$ наугад выбирается из $\mathbb N$, $P$ -- вероятность, что $x$ окажется простым (*) ) . Как заметил Joker_vD , это неверно.
Но если принять

kw_artem в сообщении #529239 писал(а):

Если так, то проблема эта решается, если изначально фиксировать отрезок по максимальному члену в данной последовательности, а потом уже на нем определить вероятность

то определение (*) поменяется на другую с тем различием что выбор не из $\mathbb N$ будет, а из отрезка $[1,a_n]$

[Cash]

Ну если определились с понятиями (правда с $C_x$ я так и не понял), то возвращаясь к заданному вопросу.
Пусть $p_i = P(a_i)$. Тогда вероятность что из $n$ наугад выбранных чисел из соответствующих отрезков (непонятно тогда почему бы из одного не выбирать) будут все составные равна
$\prod\limits_{i=1}^n (1-p_i)$
Соответственно, что будет хотя бы одно простое
$1-\prod\limits_{i=1}^n (1-p_i)$
И при любом $n$ есть ненулевая вероятность не получить ни одного простого числа, что в принципе было очевидно с самого начала.

[kw_artem]

$C_x$ -- можете считать её функцией, разницы нет особой

Cash в сообщении #529316 писал(а):

наугад выбранных чисел из соответствующих отрезков (непонятно тогда почему бы из одного не выбирать)

как раз из одного принимаются, из $[1, a_n],$ где $a_n$-- максимальное из набора

-- 20.01.2012, 17:34 --

Cash,
да очевидно было,но для убежденности требовалось как раз такое доказательство.
Спасибо, Cash. Доказательство вообще простым оказалось

[Cash]

Цитата:

как раз из одного принимаются, из $[1, a_n],$ где $a_n$-- максимальное из набора

Какое еще максимальное из набора? Из какого набора? То есть мы вначале выбираем, а потом определяем откуда же это мы выбирали?
Вы можете сейчас полностью сформулировать корректное условие?

[kw_artem]

Признаю, в первом сообщении условия корявые.
Но потом определено все точно, прочтите еще раз:

kw_artem в сообщении #529239 писал(а):

Joker_vD в сообщении #529209 писал(а):
Да-да, вы как выбираете? Наугад из ?

Да, прочитал топик. Но в той задаче выбирался из бесконечного множества... Хотя вы правы. Ведь мы для каждого определяем вероятность только в его промежутке . И, если движемся по возрастанию члена в последовательности, то постоянно нужно будет включать все новые и новые целые числа в отрезок .
Если так, то проблема эта решается, если изначально фиксировать отрезок по максимальному члену в данной последовательности, а потом уже на нем определить вероятность. Возможно?

($a_i , $-- набор чисел $( i=1,2,\cdots,n)$)

[Joker_vD]

Я все равно не улавливаю сути вопроса. Есть классический результат:

Пусть $\pi(n)$ — количество простых чисел из отрезка $[1,n]$, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\pi(n)\ln n}{n}=1$.

Что вы хотите из него выцарапать?

[kw_artem]

Вы знаете,прочитал одну статью про простые числа (Дон Цагира, может читали), а потом ещё пару статей. И там как раз про вероятность нахождения простого числа на интервале говорилось. Потом мне показалось, что, складывая вероятности для нечетных чисел, можно хорошую оценку получить. Но как начинал немного отвлеченно думать, то нифига. Вот и ситуация получилась: с одной стороны так, с другой ...что-то одно нужно доказать

-- 20.01.2012, 18:25 --

Ладно, всем спасибо