Ряд Лорана и область сходимости

[kirokko]

Здравствуйте.

Необходимо разложить функцию $f(z) = \frac{z-2}{2z^3+z^2-z}$ в окрестностях точки $z_0 = 0$.
Я нашел особые точки, в которых нарушается аналитичность функции $z_1 = 0; z_2 = \frac12; z_3 = 1$ и разложил многочлен на множители $f(z) = \frac{z-2}{z(z-\frac12)(z+1)}$. Далее разложил по дробям с коэфициентами $f(z) = \frac1z(-\frac{1}{z-\frac12}+\frac{2}{z+1})$
Тут нужно две дроби представлять через геометрическую прогрессию, но там используется область сходимости вида $r<|z-z_0|<R$. И вот тут возникает ступор, если есть только два сомножителя, то вроде все понятно, а если три как в примере то уже не понятно. Каким образом находить границы сфер?

[ewert]

kirokko в сообщении #529004 писал(а):

. Далее разложил по дробям с коэфициентами $f(z) = \frac1z(-\frac{1}{z-\frac12}+\frac{2}{z+1})$

Глубже раскладывайте -- в сумму трёх дробей, а не двух.

[kirokko]

А почему трех? Ведь первый множитель подходит по своему виду. Хотя толку от этого, конечно же, нет.
Но тем не менее разложил: $f(x) = -\frac{4}{z} - \frac{2}{z-0,5} - \frac{2}{z+1}$ Первая дробь подходит по степеням, а остальные нет.

[ИСН]

Что значит "подходит по степеням"?

[kirokko]

Общий вид ряда Лорана можно записать в виде: $\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n$, т. к. $z_0=0$. Может быть я немного путаю терминологию, но первая дробь остается в том виде, в котором есть.

[ИСН]

Ну да, так и есть. А остальные надо раскладывать. Вы это уже делали когда-нибудь?

[kirokko]

Да, делал. Там используется геометрическая прогрессия. Но перед этим всегда находилось кольцо сходимости, или области сходимости. В тех примерах, которые я разбирал было две особые точки. А тут их три, в области одной из них нужно разложить ряд. В примере с двумя особыми точками, в окрестности одной из них нужно было разложить ряд, а другая была граничной, получалось все довольно наглядно.
А тут три точки. Я предполагаю, что дальняя точка $z_3 = -1$ (в первом сообщ. опечатка) от $z_1 = 0$ лежит на границе внешней, т.е. $R$, а вот либо сама $z_1 = 0$ "выкалывается" ($>0$). В данном случае тогда точку $z_2 = -\frac12$ нужно "выкалывать". Либо тогда $z_2 = -\frac12$ лежит на внутренней границе.
И два возможных кольца сходимости:
$0<|z|<1$, либо $\frac12<|z|<1$.
Но почему это так я не очень понимаю.

[ИСН]

Короче, кольца всегда проходят так, чтобы особые точки были на границах между ними. А какое именно кольцо Вам нужно, разбирайтесь сами.

[kirokko]

Ведь ряд в кольце сходимости единственным образом раскладывается. И кольцо сходимости тоже только одно должно быть тогда. Не может же один и тот же ряд в разных кольцах сходится. Точнее может, смотря как указать его, но ту область, где он сходится, мы может указать единственным образом?

[ИСН]

Да, в каждом кольце - свой ряд.