Обсуждение решения одного дифф уравнения

[kw_artem]

В самом содержании заголовка постарался отразить, что эту тему открыл в основном для обсуждения решения задачи, которая мне показалась интересной. Буду рад любому мнению, предложению, и обсудить задачу с кем-нибудь.
Собственно вот само дифференциальное уравнение(ДУ), которое как видно не относится к классу обыкновенных ДУ:

F(a_t)\cdot {a_t}' -F(b_t)\cdot {b_t}'=t^{\nu },\quad\nu < -2,

где \nu -- постоянное число,a=a(t) и b=b(t) -- функции от переменной t, а F=F(u) -- от u.
Задача сводится к двум параллельным вопросам:
1) Нужно найти такие функции a=a(t), b=b(t), F=F(u), удовлетворяющие первому уравнению и дополнительным условиям:

a_t\not\equiv b_t,\quad a(\infty)\neq b(1),
a(n)=b(n+1),\quad \forall n\in \mathbb{N};

Причем решение ищется в области t \ge 1. Хотя решение может быть определено в более "обширной" области. Тогда должно выполняться следующее условие:
если D -- область, указанная выше, а D' -- "обширная" область, то D \subset D';
2) Или нужно доказать, что в указанной области D решений не существует.

[svv]

$a(t)$ -- это некоторая функция $t$.
$a_t$ -- это, наверное, её производная: $\frac{da(t)}{dt}$
А что такое ${a_t}'$ ?

А может быть, $a_t$ -- это просто $a(t)$ ?

[Toucan]

kw_artem, все набираемые формулы надо окружать знаками доллара; тег math вставится автоматически.

Сравните Ваше

a(n)=b(n+1),\quad \forall n\in \mathbb{N};

[math]a(n)=b(n+1),\quad \forall n\in \mathbb{N};[/math]

и

$a(n)=b(n+1),\quad \forall n\in \mathbb{N};$

$a(n)=b(n+1),\quad \forall n\in \mathbb{N};$

[kw_artem]

svv в сообщении #528159 писал(а):

А может быть, $a_t$ -- это просто $a(t)$ ?
$a_t$ -- это, наверное, её производная: $\frac{da(t)}{dt}$
А что такое ${a_t}'$ ?

$a_t=a(t)$ -- некоторая функция $t$, старое обозначение; это не производная. А её(функции) производная:
${a_t}'=\frac{da(t)}{dt}$.

[kw_artem]

Некоторая неточность в первой строке дополнительных условий. Можно без серьезных изменений в самой задаче поставить дополнительное условие в более конкретной форме. Поэтому, вместо:

kw_artem в сообщении #528082 писал(а):

$a_t\not\equiv b_t, \quad a(\infty)\neq b(0)$

можно принять
$a(t)>b(t),\quad \forall t \geq 1$

[mihiv]

В уравнении 3 неизвестные функции $a,b,F$,дополнительных условий недостаточно,чтобы выделить единственное решение.Но можно,например,найти значения одного из множества решений в целочисленных точках.Для этого примем $F(u)\equiv 1$ и проинтегрируем уравнение от 1 до $k$,получим:

$$a(k)-b(k)=\dfrac 1{|\nu |-1}\left (1-\dfrac 1{k^{|\nu |-1}}\right )\qquad (1)$$

Положим в $(1) k=2\dots n$ и просуммируем по $k$ от 2 до $n$,получим:

$$a(n)=a(1)+\dfrac 1{|\nu |-1}\left (n-1-\sum \limits _{k=2}^n\dfrac 1{k^{|\nu |-1}}\right ),b(n)=a(n-1)$$

.

[kw_artem]

Да, спасибо, mihiv! Это уже пробовал, поэтому больше интересует решение той же задачи, но когда $F(u)\not\equiv \operatorname{const}$. Хотя бы одно такое решение из множества.
Кстати,я не уверен,но по-моему у вас в уравнении (1) ошибка: слагаемое единица в скобках?
Что на счет нач. условий абсолютно согласен. Но можно в принципе взять что $a(1)$ и $b(1)$ равны конкретным числам $p$ и $q$.
-----------------
Задача все более громоздкой получается, хотя не сильно

[kw_artem]

Ошибки у других нахожу, а у себя -- глаза не видят. Напортачил при написании условий задачи. Дико извиняюсь!
Итак, исправленная версия:
(ДУ)$\quad F(a_t){a_t}'-F(b_t){b_t}'=(\nu+1)t^{\nu}, \quad\nu<-2;$

(н.у.)$\begin{cases} a(1)=p,\; b(1)=q,\; F(u)\not\equiv\operatorname{const},\\ a(t)>b(t), \quad \forall t \geq 1,\\ a(n)=b(n+1),\quad \forall n \in \mathbb{N}; \end{cases}$

[mihiv]

Конкретный вид функции $F(u)$ не важен.Пусть,например,$F(u)=e ^u.$Интегрируем уравнение по $t$ от 1 до $k$,получим:

$$e^{a(k)}-e^{b(k)}=e^{a(1)}-e^{b(1)}+k^{\nu +1}-1$$

(-1 при подстановке нижнего предела).Придавая $k$ значения $2,\dots ,n$ и суммируя по $k$ от 2 до $n$ получим

$$e^{a(n)}=e^p+\left (e^p-e^q-1}\right )(n-1)+\sum \limits _{k=2}^nk^{\nu +1}\qquad (2)$$

Отсюда находим $a(n)$.Выбор функции $F$ не совсем произволен,так если коэффициент при $(n-1)$ в (2) окажется меньше 0,то при больших $n$ получим невозможное равенство.

[svv]

ДУ надо сразу проинтегрировать. Пусть $g(u)$ -- первообразная $F(u)$, тогда $\frac d{dt} g(a(t)) = F(a(t))\, a'(t)$ (как у Вас в уравнении), и ДУ можно записать в виде:
$\frac d{dt}(g(a(t))-g(b(t)))=(\nu+1)t^{\nu}$
Интегрируем:
$g(a(t))-g(b(t))=g(a(t_0))-g(b(t_0))+t^{\nu+1}-t_0^{\nu+1}$
Вот. Теперь у Вас уже не ДУ, а функциональное уравнение.
Так как функция $F(u)$ всё равно не задана, можно забыть про неё и искать функцию $g(u)$ (если всё же нужна будет именно $F(u)$ -- продифференцировать $g(u)$).

Есть даже признаки, что примерно такая форма у Вас уже была, но Вы почему-то решили, что надо взять производную. Ответ -- нет, не стоило.

[kw_artem]

svv,
Ясно про функциональное уравнение.

svv в сообщении #528855 писал(а):

Есть даже признаки, что примерно такая форма у Вас уже была, но Вы почему-то решили, что надо взять производную. Ответ -- нет, не стоило.

Нет изначально была форма в производных.

Вообще это уравнение получилось когда попробовал сумму ряда Дирихле представить в виде интеграла, с целью, какой должна быть функция, симметричная относительно оси, чтобы площадь, ограниченная между её ветками по определенному интервалу, равнялась величине ряда.
По-моему, из самого функционального уравнения следует, что искомые функции будут выражаться через этот ряд, особенно если мы будем суммировать. Что нежелательно. Но если будет получаться так в любом случае, то задача -- просто бред!

-- 19.01.2012, 17:34 --

kw_artem в сообщении #528877 писал(а):

Но если будет получаться так в любом случае

как думаете в любом случае?