Группа гомологий прямого произведения и суммы

[xmaister]

Здравствуйте! Помогите решить задачу:
Дано семейство $\mathscr{C}=\{C_t|t\in T\}$ дифференциальных групп. Нужно доказать, что $H(\sum\limits_{t\in T}C_t)\cong \sum\limits_{t\in T}H(C_t)$ и $H(\prod\limits_{t\in T}C_t)\cong \prod\limits_{t\in T}H(C_t)$.

Думал сделать по определению. Т.е. сначало нужно доказать, что $\sum\limits_{t\in T}C_t$ также является дифференциальной группой. Какой дифференциал брать в прямой сумме, если $d_t$- дифференциал в $C_t$? А как определять прямое произведение? Так же как и для обычных групп, но с каким дифференциалом?

[Someone]

xmaister в сообщении #527852 писал(а):

Т.е. сначало нужно доказать, что $\sum\limits_{t\in T}C_t$ также является дифференциальной группой. Какой дифференциал брать в прямой сумме, если $d_t$- дифференциал в $C_t$?

Покомпонентный.

xmaister в сообщении #527852 писал(а):

А как определять прямое произведение? Так же как и для обычных групп

Естественно.

xmaister в сообщении #527852 писал(а):

с каким дифференциалом?

С покомпонентным.

[xmaister]

Покомпонентный это как? В прямой сумме это будет сумма дифференциалов, а в произведении- произведение? В "Маклейне" предлагается самому определить прямую сумму и произведение диф. групп.

[Someone]

xmaister в сообщении #527905 писал(а):

Покомпонентный это как? В прямой сумме это будет сумма дифференциалов, а в произведении- произведение?

Ну, произведение групп - это обычное (декартово) произведение множеств, на котором групповая операция определена покомпонентно (как, например, сложение векторов в координатной записи - оно тоже покомпонентное). Дифференциалы у Вас определены для каждой координаты, ну и определите дифференциал на произведении так же - покомпонентно (это общая конструкция для отображений; у Р.Энгелькинга она называется декартово произведение отображений).
Прямая сумма групп - это подмножество произведения групп, включающее те элементы, которые отличаются от выделенного (в данном случае - единичного, или нулевого - в зависимости от наименования операции) лишь конечным числом координат (в общей топологии эта штука называется $\sigma$-произведением), хотя обычно используется представление в виде формальных конечных сумм. Групповая операция и дифференциал определяются так же, как для произведения - покомпонентно.

P.S. У меня сейчас нет времени расписывать всё формально, постарайтесь сами.