Функциональное уравнение

[3AKPbIBAKA]

При решении дифференциального уравнения возникли проблемы с доказательством единственности решения.
Получилось такое функциональное уравнение:
$ СC(px)=C(x)$ (1)
$0<p<1$
$ x>0$
$C$ должно быть дважды дифференцируемо

По идее, нужно показать, что $ C$ - константа. Помогите, пожалуйста!
Замечено, что ф-я, удовлетворяющая условию (1), разрывна в 0.

[svv]

К сожалению, если даны только те условия, что Вы указали, отсюда нельзя ещё вывести, что $C$ -- константа. Например, такая функция тоже удовлетворяет всем условиям:
$C(x)=\sin\frac{2\pi\ln x}{\ln p}$
Возможны и иные варианты.

[VPro]

Думаю, условий хватает.
1. Фиксируем $x=1$. Из (1) получим $C(p)=C(1), 0<p<1$, откуда C(x) постоянна на интервале $(0,1)$.
2. Положим $x=1/p$, получим $C(1/p)=C(1), 0<p<1$, откуда C(x) постоянна на $(1,\infty)$.
3. При $x=1$ разрыва нет (самостоятельное упражнение).

[svv]

В таком случае, какое из условий нарушает мой пример?

А, всё ясно. VPro, $p$ -- некоторое фиксированное число в интервале $(0, 1)$.

[VPro]

svv в сообщении #527752 писал(а):

VPro, $p$ -- некоторое фиксированное число в интервале $(0, 1)$.

Сдается мне, что Вы домыслили насчет "фиксированного". Нет этого в условиях. Это во-первых.
А во-вторых, в Вашем примере равенство (1) не выполняется даже для фиксированного $p$. Ваша функция $C(xp)$ не определена при $p=1$.

[svv]

VPro писал(а):

Сдается мне, что Вы домыслили насчет "фиксированного". Нет этого в условиях.

Совершенно верно, домыслил. Уверен, что это так. Опыт...

VPro писал(а):

А во-вторых, в Вашем примере равенство (1) не выполняется даже для фиксированного $p$. Ваша функция $C(xp)$ не определена при $p=1$.

Но по условиям $0<p<1$.

[3AKPbIBAKA]

Спасибо большое!

[VPro]

svv в сообщении #527780 писал(а):

VPro писал(а):

Сдается мне, что Вы домыслили насчет "фиксированного". Нет этого в условиях.

Совершенно верно, домыслил. Уверен, что это так. Опыт...

VPro писал(а):

А во-вторых, в Вашем примере равенство (1) не выполняется даже для фиксированного $p$. Ваша функция $C(xp)$ не определена при $p=1$.

Но по условиям $0<p<1$.

1. Даже если поверить Вашему опыту и зафиксировать $p$, функция $C(x)$ все равно будет константой, поскольку условие (1) означает, что график функции C(x) будучи растянутым в $1/p$ раз совпадет с исходным. Из гладких функций, ничего кроме константы этому условию не удовлетворяет.
2. Да согласен, я сам слегка заблудился.

-- Пн янв 16, 2012 23:15:09 --

SVV: Разобрался. Был не прав. Ваш пример при фиксированном $p $ работает: растяжение логарифмом переврдится в сдвиг, а сдвиг "убивается" периодичностью. Хороший пример. Вы правы: если $p$ фиксировано, то C(x) не обязательно константа.

[svv]

Я думаю, $p$ -- это параметр ДУ, его можно выбирать любым в интервале (0,1), но при рассмотрении конкретного ДУ он полагается постоянным, то есть у нас не ДУ от двух переменных.
В противном случае всё было бы очень просто -- как Вы и показали.

Я привел как раз $C(x)$ (дал определение $C(x)$, в которое входит $p$). То, что в формулу входит и $p$ -- это, опять же, потому, что $p$ -- параметр задачи. Аналогично, мы можем писать $y(x)=kx+c$, а не $y(kx)=kx+c$ и не $y(k, x)=kx+c$.

Что касается $C(px)$. Я должен в определение $C(x)$ вместо $x$ подставить $px$. Получим:

$$C(px)=\sin\frac{2\pi\ln px}{\ln p}=\sin\frac{2\pi(\ln p+\ln x)}{\ln p}=\sin\left(2\pi+\frac{2\pi \ln x}{\ln p}\right)=\sin\frac{2\pi \ln x}{\ln p}=C(x)$$

VPro писал(а):

условие (1) означает, что график функции C(x) будучи растянутым в $1/p$ раз совпадет с исходным. Из гладких функций, ничего кроме константы этому условию не удовлетворяет.

Ну, тем удивительнее будет тот факт, что всё-таки есть и неконстантные функции.
См., например, графики sin(2*pi*ln(x)) и sin(2*pi*ln(x/e)) в WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=si ... x%3D0+to+2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=si ... x%3D0+to+2

-- Пн янв 16, 2012 22:29:38 --

А, извините, как это часто бывает, не заметил добавления.