ортогонональное дополнение к четным многочленам

[lipater]

Здравствуйте!
Как доказать, что ортогональное дополнение к четным многочленам (то есть от $x^2$) в $L_2(-1,1)$ (скалярное произведение обычное, то есть интеграл от произведения) есть множество нечетных функций?
Я так рассуждал: четные многочлены плотны в множестве четных функций. Тогда получается, что искомые функции (элементы ортогонального дополнения) ортогональны всем четным функциям, а не только четным многочленам. Дальше пока не знаю как доказывать. Хотелось бы получить какое-либо наводящее соображение. Спасибо.

[svv]

Любая нечетная функция будет ортогональна всем четным многочленам -- это очевидно. А теперь надо доказать, что только нечетная функция ортогональна всем четным многочленам.

Предположим, что есть такая ненулевая $f(x)$, не являющаяся нечетной, которая ортогональна всем четным многочленам. Тогда четная функция $g(x)=f(x)+f(-x)$ тоже ортогональна всем четным многочленам. Кстати, она ортогональна (как четная функция) и нечетным многочленам.

Выходит, есть и такая ненулевая $g(x)$, которая ортогональна вообще всем многочленам. Может такое быть?