RPZ, отмечу, что приведённый Вами ряд
![$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}z^n$ $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}z^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/b/0cb51b0a91cba7b6c011544ec30402f782.png)
- это разложение функции
![$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+z}}-1$ $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+z}}-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7cb04b15daa510f2fbac358bba8496682.png)
в степенной ряд (ряд Маклорена) - можете, например, попросить просуммировать этот ряд WolframAlpha. Это частный случай
биноминального ряда
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0. Тот факт, что функция
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
имеет в точке
![$z=-1$ $z=-1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/c/c1c223f3821fc1454b3ad9a1cf594bc582.png)
особенность, и есть указание на то, что при
![$|z|>1$ $|z|>1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/0/e802928bbf91651eb9aa947eba823efd82.png)
ряд расходится (а при
![$|z|<1$ $|z|<1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/3/7137bf654645f306e2253637a01b838182.png)
- сходится - т.к. других особенностей при конечных
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
функция
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
не имеет). Это иллюстрация полезного общего факта: радиус сходимости степенного ряда - это расстояние от начала координат до первой особенности функции, представляющей этот ряд.
Sonic86 хотел сказать "В этом же случае
не справляется и Коши".