Образ гладкой параметрической кривой

[Curiousguy]

Господа, на днях встретил в одной литературе с одним по моему мнению совсем нелепым общим утверждением, а именно то что образ гладкой пареметрической кривой не содержит никакого открытого шара... Разве образ гладкой кривой прерывен? Помогите разобраться... Спасибо!

[xmaister]

Curiousguy в сообщении #527437 писал(а):

Разве образ гладкой кривой прерывен?

Может быть и разрывен.

[Curiousguy]

Мне в голову ничего не приходит при рассмотрении образа гладкой параметрической кривой, не содержащего НИКАКОГО открытого шара.... Как это показать???

-- 16.01.2012, 13:37 --

Может дело в координатном представлении??? Хотя вроде бы есть открытый шар в образе... Литература где я нашел это очень серьезное

[Curiousguy]

Мда, я думал здесь высококлассные математики обитают...

[svv]

Здесь все обитают.
А попробуйте, наоборот, построить такую гладкую кривую, чтобы её образ содержал открытый шар. Кривая Пеано? Но она негладкая. Почему не получается?

[Joker_vD]

Так, во-первых, вы не указали, образ при каком отображении? Непрерывном, гладком, рациональном?.. Поэтому пока предположим, что отображение можно взять тождественным, и... ха. А какие вы знаете кривые (вещи размерности один), содержащие в себе шары (вещи размерности никак не меньше двух)?

[svv]

Joker_vD, там такая терминология, что параметрическая кривая -- это отображение, например, $\gamma:[a,b]\to M$ (и потому несподручно говорить, что кривая в таком смысле содержит открытый шар), а то, что мы с Вами хотели бы назвать кривой (собственно кривулька) -- это образ того отображения.

[Joker_vD]

svv
А. Курс алгебраической геометрии, признаюсь, несколько выбил из меня знания по обычной аналитической

Но все равно, чтобы отрезок перевести в шар — нужно очень постараться. Точки, небось, все сплошняком должны быть особыми...

[Curiousguy]

svv
Спасибо Вам за Пеано!

[svv]

Нет-нет, не возьму, она ведь не гладкая!

[Curiousguy]

svv
К Вам, как к профессианалу, собственно ещё вопрос по этой ж теме... Когда говорят об образе гладкой кривой, имеют ввиду отображение интервала к множеству или уже отобразившего объекта к новому множеству?

[svv]

К сожалению, я не математик. Но, на мой взгляд, первое. Интервал $\to$ многообразие.

[Curiousguy]

svv
Вы значит физик? ))

[svv]

Ага.
С этим образом -- по-моему, так логичнее всего получается:
Кривая, заданная параметрически -- это отображение $\gamma$: интервал $\to$ многообразие.
Ну, а образ отображения $\gamma$ -- это по определению множество $\{\gamma(x)\}$, где $x$ принадлежат интервалу. Иными словами -- множество точек многообразия, являющихся образами точек интервала.
Поэтому никаких дополнительных отображений и образов уже не нужно.
Да и слишком много вопросов возникало бы, если бы имелось в виду еще какое-то дополнительное отображение (куда? зачем? какое? см. вопросы Joker_vD).