Диаграмма прямой суммы модулей

[xmaister]

Здравствуйте! Помогите доказать, что любая диаграмма $\xymatrix{A\ar[r]^{l''}&B\ar[r]^{\pi ''}&A_2}$ в которой $\pi ''l''=\operatorname{id}_{A_2}$ изоморфна диаграмме прямой сумме $\xymatrix{A_2\ar[r]^{l_2}&A_1\oplus A_2\ar[r]^{\pi_2}&A_2}$,
где $A_1=\operatorname{Ker}\pi ''$.

[xmaister]

Рассматривается диаграмма $\xymatrix{\operatorname{Ker}\pi ''\ar[r]^{l'}&B\ar[r]^-{l''}&A_2\ar[l]^-{\pi ''}}$, где $l'$- вложение. Потом говорится, что т.к. $\pi ''(\mathrm{id}_B-l''\pi '')=0$ следовательно $\mathrm{id}_B-l''\pi ''$ представимо в виде $\mathrm{id}_B-l''\pi''=l'\pi '$, где $\pi ':B\to\operatorname{Ker}\pi ''$. Я не понял почему должно иметь место такое представление, а $\pi '$ должен быть произвольным гомоморфизмом?

[xmaister]

Никак не получается разобраться. Пусть $\mathrm{id}_B-l''\pi ''$ представимо в виде $\mathrm{id}_B-l''\pi''=l'\pi '$. Тогда сначала нужно доказать, что отображение $\pi ':B\to\operatorname{Ker}\pi ''$ однозначно. Предполагаю, что не однозначно, тогда пусть элементу $b\in B$ соответствует $a_1\in\operatorname{Ker}\pi ''$ и $a_2\in\operatorname{Ker}\pi ''$. Но всё равно же может быть так, что $l' (a_2)=l'(a_1)$. Не понимаю...