Исследование на устойчивость.

[Look]

Нужно установить, устойчиво ли нулевое решение (т. е. y(x)=0) уравнения:

y' = |y| \sin (1/y^2), при y \ne 0\\
0, при y = 0

Уравнение хитрое, я полагаю, что тут нельзя так просто взять и исследовать по Ляпунову... Помогите пожалуйста разобраться

[ewert]

Оно же в некотором смысле явно интегрируется. Уравнение -- с разделяющимися переменными, да к тому же ещё и автономное. Любое решение зажато между двумя соседними корнями правой части (если не тождественно равно одному из этих корней), а корни те расположены в окрестности нуля частенько-частенько...

[Look]

ewert, а нельзя ли подробнее? Мы при $y(x)=0$ имеем решение $y(x,0)=0$ (прямая, совпадающая с Ox), но при всех других $y(x)=u \ \ (u \ne 0)$, мы будем иметь кривые (решения), принадлежащие $y'=|y|sin(1/y^2)$, которое невозможно проинтегрировать до конца (даже не нужно). Как понять, как эти кривые себя ведут?

[ewert]

Если в начальной точке значение $y$ равно одному из корней правой части, то решение будет постоянным.

Если это значение находится между двумя соседними корнями, то решение будет монотонным, прижимаясь на плюс бесконечности к одному из корней, а на минус бесконечности -- к другому (за конечное время попасть в сам корень оно не сможет ну хотя бы потому, что это противоречило бы единственности решения, а технически потому, что интеграл $\int\frac{dy}{f(y)}$ расходится в окрестности корня знаменателя).