Как описать операторы, коммутирующие с разностями?

[sergei1961]

Понятно, что разности могут быть любого порядка, разных типов, строго говоря нужно задать пространства для функций и тд.
Интересует ответ на глупый вопрос: известно ли полное описание в каких-то пространствах или просто явные примеры операторов, которые коммутируют с первыми разностями, которые имеют такой вид:

$$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$

или такой вид:

$$\frac{f(x)-f(qx)}{x(1-q)}$$

всё равно.

[mihiv]

Например:$Af(x)=f(kx),k\neq 0.$

[sergei1961]

Они не совсем коммутируют, а ку-коммутируют по Вейлю: $AB=qBA$. Описание такого коммутанта (множества всех ку-коммутирующих операторов) тоже интересно. Но это единственный пример, который я знаю тоже. Больше не знаю примеров операторов коммутирующих с разностями хоть ку- хоть без ку, в обычном смысле.

[mihiv]

sergei1961 в сообщении #527418 писал(а):

Они не совсем коммутируют

Да,я сразу не заметил.

[g______d]

Можно более четко сформулировать вопрос про первую разность? Если она делает из функции одной переменной функцию двух переменных, то искомый оператор в выражениях $AB$ и $BA$ должен пониматься по-разному: он действует на функции разного рода. Надеюсь, я понятно объяснил.

Еще можно предполагать, что $y$ --- это просто параметр. Тогда не очевидна естественность этого вопроса и хотелось бы дополнительную мотивацию.

[sergei1961]

Похоже, что решение этой задачи неизвестно. Ни в одном пространстве. Можно тему закрывать.

[mihiv]

Коммутирующие операторы есть,но неинтересные,а именно целые положительные степени самого оператора разности (который с $x$ и $q$).