2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Факториальная дробь
Сообщение14.01.2012, 22:39 
Аватара пользователя
Пусть $a$ и $b$ - неотрицательные целые числа. Докажите, что число $$\frac {(an)!(am)!} {n!m!(bn+m)!(n+bm)!}$$ является целым для всех неотрицательных целых $n$ и $m$ тогда и только тогда, когда $$a > \max \, \{b+\sqrt b, 1\}.$$

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение14.01.2012, 22:47 
Ответ такой же тут:
topic10580.html

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение15.01.2012, 01:33 
Аватара пользователя
Edward_Tur в сообщении #526938 писал(а):
Ответ такой же тут:
topic10580.html
Это, мягко говоря, разные задачи. К тому же, в данной задаче ответом является доказательство :mrgreen:

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение15.01.2012, 07:25 
Случай $b=0$ неинтересен, вполне без него можно было бы обойтись. Принципиальных отличий от topic10580.html не видно.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение15.01.2012, 17:51 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #527026 писал(а):
Случай $b=0$ неинтересен, вполне без него можно было бы обойтись. Принципиальных отличий от topic10580.html не видно.
А доказательство необходимости условия?

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 09:55 
Dave в сообщении #527251 писал(а):
А доказательство необходимости условия?
Придётся, конечно, повозиться с формулой Лежандра, но сложности, скорее всего, будут технического характера. Задача сама по себе вполне интересная, но сам сюжет по модулю topic10580.html не представляется новым.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 18:26 
Аватара пользователя
На самом деле это обобщение этой задачи с олимпиады США 1975 года. Неравенство, аналогичное содержащемуся в вышеуказанной теме, созданной Edward_Tur (там, кстати, нужно добавить ещё $[x]+[y]$ в правую часть), я вывел независимо и могу доказать чуть проще в алгебраической форме, без всяких геометрических соображений. Что касается доказательства необходимости, то оно не очень сложно, но представлят определённый интерес.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 18:40 
Dave в сообщении #527655 писал(а):
На самом деле это обобщение этой задачи с олимпиады США 1975 года. Неравенство, аналогичное содержащемуся в вышеуказанной теме, созданной Edward_Tur (там, кстати, нужно добавить ещё $[x]+[y]$ в правую часть), я вывел независимо и могу доказать чуть проще в алгебраической форме, без всяких геометрических соображений. Что касается доказательства необходимости, то оно не очень сложно, но представляет определённый интерес.
Да, об этой американской задаче я в первую очередь и подумал. Она, если не ошибаюсь, есть в книге "Зарубежные математические олимпиады" (М., Наука, 1987). Тоже в своё время хотелось обобщить, но как-то забылось. А Вы пошлите её в "Квант" или "Математику в школе", может, подскажут, были ли раньше какие-либо обобщения. Я бы ещё посмотрел Amer. Math. Mothly тех лет, возможно, там что-то есть в этом духе.

Нашёл у себя вот такую задачу: доказать, что число
$$
\frac{(5m)!(3n)!}{m!n!(m+n)!(3m+n)!}
$$
является целым при натуральных $m$ и $n$. В "Зарубежных ..." той американской задачи не оказалось, это я ошибся, а встречал я её, похоже, там же --- на aops.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 19:52 
Аватара пользователя
А в чём проблема с необходимостью? Условие целочисленности отношений факториалов очевидно эквивалентно тому, что $\lfloor ax\rfloor+\lfloor ay\rfloor\ge\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor bx+y\rfloor+\lfloor x+by\rfloor$ для произвольных $x,y\in[0,1]$ (это ещё Ландау заметил), а в той теме необходимость выводится из чуть более слабого условия.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 20:42 
nnosipov в сообщении #527663 писал(а):
Да, об этой американской задаче я в первую очередь и подумал. Она, если не ошибаюсь, есть в книге "Зарубежные математические олимпиады" (М., Наука, 1987). Тоже в своё время хотелось обобщить, но как-то забылось. А Вы пошлите её в "Квант" или "Математику в школе", может, подскажут, были ли раньше какие-либо обобщения. Я бы ещё посмотрел Amer. Math. Mothly тех лет, возможно, там что-то есть в этом духе.
Задачу $\lfloor ax+by\rfloor+\lfloor bx+ay\rfloor\ge\lfloor cx+dy\rfloor+\lfloor dx+cy\rfloor$ я отправлял в "Квант" в 1980-х годах, но получил ответ, что задача не вызовет интерес у читателей.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 20:55 
Edward_Tur в сообщении #527721 писал(а):
Задачу $\lfloor ax+by\rfloor+\lfloor bx+ay\rfloor\ge\lfloor cx+dy\rfloor+\lfloor dx+cy\rfloor$ я отправлял в "Квант" в 1980-х годах, но получил ответ, что задача не вызовет интерес у читателей.
Ну, крутой был "Квант" и его читатели в те времена, вот и заелись :D Зато сейчас в "Задачнике Кванта" иногда такие очевидности проскакивают.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 21:37 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #527692 писал(а):
А в чём проблема с необходимостью? Условие целочисленности отношений факториалов очевидно эквивалентно тому, что $\lfloor ax\rfloor+\lfloor ay\rfloor\ge\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor bx+y\rfloor+\lfloor x+by\rfloor$ для произвольных $x,y\in[0,1]$ (это ещё Ландау заметил), а в той теме необходимость выводится из чуть более слабого условия.
Ну теперь, после этой задачи, мне понятно, как и этот результат Ландау доказать. На самом деле это не сложно. Вот если бы Ландау вывел условие на коэффициенты для справедливости рассматриваемых неравенств, в общем виде - это было бы другое дело. :D
nnosipov в сообщении #527663 писал(а):
В "Зарубежных ..." той американской задачи не оказалось, это я ошибся, а встречал я её, похоже, там же --- на aops.
Странно, а я нашёл в "Зарубежных..." :? - задача 8.10 на стр. 30.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 21:48 
Dave в сообщении #527744 писал(а):
Странно, а я нашёл в "Зарубежных..." :? - задача 8.10 на стр. 30.
А я проглядел только первые три параграфа и подумал, что дальше нет.

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение16.01.2012, 21:58 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #527747 писал(а):
Dave в сообщении #527744 писал(а):
Странно, а я нашёл в "Зарубежных..." :? - задача 8.10 на стр. 30.
А я проглядел только первые три параграфа и подумал, что дальше нет.
Тем самым доказано, что неполный поиск недостоверен. :-)

 
 
 
 Re: Факториальная дробь
Сообщение17.01.2012, 00:11 
Аватара пользователя
Dave в сообщении #527744 писал(а):
Вот если бы Ландау вывел условие на коэффициенты для справедливости рассматриваемых неравенств, в общем виде - это было бы другое дело.
Это да. Но тут даже для одного неизвестного, походу, целая наука: http://arxiv.org/abs/0709.1977, http://arxiv.org/abs/0710.3459v2.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group