Ограниченность последовательности операторов

[FFFF]

Здравствуйте!
Задача из Хатсона Пима:
Последовательности операторов $\{L_n\}, \, \{L^{-1}_{n}\}$ лежат в $\mathscr{L(B,C)}$, $\mathscr{B,C}$ - банаховы. Причём $\lim{L_n}=L \in \mathscr{L}$. Доказать, что $L^{-1} \in \mathscr{L} \Leftrightarrow$ последовательность $||L^{-1}_n||$ - ограничена.

В одну сторону: пусть $L^{-1} \in \mathscr{L}$ Я хочу написать что-то вроде

$$||L^{-1}_n||<||L^{-1}_n L_n L^{-1}||=||L^{-1}||$$

Первое неравенство, конечно, какое-то неверное=) Такой вопрос: следует ли из $\lim L_n=L$, что $\lim L_n L^{-1}=I$ или $\lim L^{-1}_n L=I$ или ни то ни другое не следует?

[ewert]

Существование ограниченного обратного у предельного оператора означает существование положительных констант $m,M$ таких, что

$m\|u\|\leqslant\|Lu\|\leqslant M\|u\|\ \ (\forall u).$

С другой стороны, сходимость последовательности операторов по норме означает, что

$\|Lu\|-\varepsilon_n\|u\|\leqslant\|L_nu\|\leqslant\|Lu\|+\varepsilon_n\|u\|\ \ (\forall u),$

где $\varepsilon_n\equiv\|L-L_n\|\to0$. Из сочетания этих четырёх неравенств (не все из которых нужны, но думать над этим лень) получается, что $\widetilde m\|u\|\leqslant\|L_nu\|\leqslant\widetilde M\|u\|\ \ (\forall u)$ при всех достаточно больших номерах, т.е. что нормы обратных равномерно ограничены.

Обратное утверждение (что из ограниченности норм обратных следует ограниченная обратимость предельного оператора) получается просто предельным переходом в цепочке

$m\|u\|\leqslant\|L_nu\|\leqslant M\|u\|\ \ (\forall u,\;\forall n).$

[MaximVD]

Если последовательность $\| L_n^{-1} \|$ ограничена, то существует такая константа $c$, что $\| L_n x\| \ge c \| x \|$ для всех $x \in \mathscr{B}$ и $n \in \mathbb{N}$. Из этого неравенства вытекает, что $\operatorname{Ker} L = 0$ и $\operatorname{Im}L$ - замкнуто. Покажем, что $\operatorname{Im} L = \mathscr{C}$. От противного. Пусть существует $y$ не принадлежащее образу оператора $L$, тогда существует $\theta > 0$ такое, что $\| y - z \| \ge \theta$ для всех $z \in \operatorname{Im} L$. Поскольку все $L_n$ обратимы, то существуют $x_n \in \mathscr{B}$ такие что $L_n x_n = y$. Имеем $\| L_n x_n - L x_n \| \ge \theta$, откуда $\| x_n \| \to \infty$ при $n \to \infty$. Но $\| y \| = \| L_n x_n \| \ge c \| x_n \|$ - противоречие. Значит $\operatorname{Ker} L = 0$ и $\operatorname{Im} L = \mathscr{C}$ и остаётся только воспользоваться теоремой Банаха об обратном операторе.
В другую сторону попробуйте самостоятельно доказать.

-- Пт янв 13, 2012 13:56:31 --

ewert
Выполнение неравенств $m \| u \| \le \| Lu \| \le M \| u \|$ гарантирует только то, что $L$ осуществляет изоморфизм между $\mathscr{B}$ и своим образом. А для обратимости нужно ещё чтобы $\operatorname{Im}L = \mathscr{C}$.

[ewert]

MaximVD в сообщении #526374 писал(а):

Выполнение неравенств $m \| u \| \le \| Lu \| \le M \| u \|$ гарантирует только то, что $L$ осуществляет изоморфизм между $\mathscr{B}$ и своим образом. А для обратимости нужно ещё чтобы $\operatorname{Im}L = \mathscr{C}$.

Ну это-то как раз очевидно: запись "$\{L_n\}, \, \{L^{-1}_{n}\}$ лежат в $\mathscr{L(B,C)}$" или вообще лишена формального смысла (т.к. прямые и обратные операторы не могут принадлежать одной и той же алгебре), или подразумевает, что все образы совпадают с выходным пространством; но тогда это же подразумевается таинственной записью $L^{-1} \in \mathscr{L}$ и для обратного.

Немножко деликатнее для обратного утверждения (т.к. в этом случае мы об обратном к предельному априори ничего не знаем), но теорема Банаха и тут всё-таки не при чём. Например, из тождества $L_n^{-1}-L_m^{-1}=L_n^{-1}(L_m-L_n)L_m^{-1}$ и равномерной ограниченности норм обратных следует фундаментальность (а значит, и сходимость по норме) последовательности обратных операторов к некоторому оператору, заданному на всём пространстве и т.д.

[FFFF]

ewert
Насколько я понял, для доказательства $\widetilde m\|u\|\leqslant\|L_nu\|$ нужны только два неравенства
$m\|u\|\leqslant\|Lu\|$ и $\|Lu\|-\varepsilon_n\|u\|\leqslant\|L_nu\|$ Я не понял дальнейшие рассуждения: как из равномерной ограниченности снизу для $L_n$ будет следовать существования предельного обратного? Есть похожая задача, но там без предельного перехода: если выполняется такое неравенство: $\widetilde m\|u\|\leqslant\|Lu\|$, то область значений $R(L)$ - замкнута и на ней существует ограниченный обратный. В обратную сторону я доказать могу, а так пока не выходит. Там ещё вопрос задаётся: "Выясните, обязательно ли $R(L)=\mathscr{C}$". MaximVD показал, что обязательно, а я думал, что нет=( Во всяком случае, верно ли, что если $\widetilde m\|u\|\leqslant\|Lu\|$, то $L^{-1}\in \mathscr{L}(R(L),\mathscr{B})$?

-- 13.01.2012, 14:35 --

ewert в сообщении #526387 писал(а):

Ну это-то как раз очевидно: запись "$\{L_n\}, \, \{L^{-1}_{n}\}$ лежат в $\mathscr{L(B,C)}$" или вообще лишена формального смысла (т.к. прямые и обратные операторы не могут принадлежать одной и той же алгебре), или подразумевает, что все образы совпадают с выходным пространством; но тогда это же подразумевается таинственной записью $L^{-1} \in \mathscr{L}$ и для обратного.

Да, с записью я сглупил, конечно=) Имеется ввиду, что $\{L_n\}$ лежит в $\mathscr{L(B,C)}$, а $\{L^{-1}_{n}\}$ в $\mathscr{L(C,B)}$

-- 13.01.2012, 14:43 --

Мда, совсем уже у меня мозги поехали, два дня сижу с этой задачей. ewert мой вопрос снимается по причине его несуразности, нам нужно доказать ограниченность не предельного, а всех ${L^{-1}_n}$, а она как раз и следует из равномерной ограниченности снизу для $L_n$

[ewert]

FFFF в сообщении #526395 писал(а):

Насколько я понял, для доказательства $\widetilde m\|u\|\leqslant\|L_nu\|$ нужны только два неравенства
$m\|u\|\leqslant\|Lu\|$ и $\|Lu\|-\varepsilon_n\|u\|\leqslant\|L_nu\|$

Да, именно эти два; я ж говорил -- мне просто было лень думать, вот я и ссыпал в кучу всё, что было.

FFFF в сообщении #526395 писал(а):

Я не понял дальнейшие рассуждения: как из равномерной ограниченности снизу для $L_n$ будет следовать существования предельного обратного?

Никак: в этом месте мы доказываем стрелочку вправо, т.е. исходим из ограниченной обратимости предельного оператора.

FFFF в сообщении #526395 писал(а):

Во всяком случае, верно ли, что если $\widetilde m\|u\|\leqslant\|Lu\|$, то $L^{-1}\in \mathscr{L}(R(L),\mathscr{B})$?

Конечно. Просто потому, что это биекция, и при этом фундаментальным последовательностям элементов образа так же биективно отвечают не менее фундаментальные последовательности их прообразов, и наоборот. Так что образ оператора в этом случае, безусловно, замкнут. Но совпадать со всем выходным пространством, естественно, не обязан (по тривиальным причинам: поскольку никаких ограничений на выходное пространство нет -- мы всегда можем его принудительно расширить).

[FFFF]

FFFF в сообщении #526362 писал(а):

следует ли из $\lim L_n=L$, что $\lim L_n L^{-1}=I$ или $\lim L^{-1}_n L=I$ или ни то ни другое не следует?

Я это к тому, что теперь, когда мы (вы) доказали, что $\|L^{-1}_n\|$ ограничена, при условии, что $L^{-1}$ ограничен, нужно показать, что действительно $\lim L^{-1}_n=L^{-1}$ Я сделал это так:

$$\|I-L^{-1}_n L\|<\|L^{-1}_n(L_n-L)\|<\|L^{-1}_n\| \|L_n-L\|=\|L^{-1}_n\| \varepsilon_n$$

Но вот усомнился, правильно ли это?

[ewert]

FFFF в сообщении #526411 писал(а):

нужно показать, что действительно $\lim L^{-1}_n=L^{-1}$ Я сделал это так:

$$\|I-L^{-1}_n L\|<\|L^{-1}_n(L_n-L)\|<\|L^{-1}_n\| \|L_n-L\|=\|L^{-1}_n\| \varepsilon_n$$

Но вот усомнился, правильно ли это?

Нет, из $L^{-1}_n L\to I$ формально ещё не следует, что $L^{-1}_n \to L^{-1}$. Только ведь по условию-то это всё равно не требовалось доказывать (хотя сам факт, конечно, и верен).

[FFFF]

ewert в сообщении #526418 писал(а):

Только ведь по условию-то это всё равно не требовалось доказывать (хотя сам факт, конечно, и верен).

Да нет, требовалось, просто я не написал, поленился, думал, решённый вопрос=(
задача 3.13 на странице 117

-- 13.01.2012, 15:41 --

Сейчас я пробую доказать в другую сторону по вашему пути. Из равномерной ограниченности $L^{-1}_n$ следует, что эта последовательность сходится. Теперь просто нужно показать что её предел совпадает с $L^{-1}$, как раз, то что нужно.
Путь MaximVD тоже верный, но в нём я пока не доказал, что из неравенства $\| L_n x\| \ge c \| x \|$ следует замкнутость образа - это как раз следующая задача 3.14

-- 13.01.2012, 15:50 --

Вот так, интересно, пройдёт?
пусть $\lim L^{-1}_n=\widetilde L^{-1}$ Тогда рассмотрим $\widetilde L^{-1} L=\lim L^{-1}_n L = \lim L^{-1}_n L_n = I$ Здесь, конечно, слабое место - $L \rightarrow L_n$, могу ли я так просто заменить $L$ под знаком предела, считая, что $L_n$ стремятся к $L$ как бы "вместе" со стремлением $L^{-1}_n$ к $\widetilde L^{-1}$

[ewert]

FFFF в сообщении #526419 писал(а):

не доказал, что из неравенства $\| L_n x\| \ge c \| x \|$ следует замкнутость образа

Да в общем-то нечего тут доказывать. Это неравенство означает ограниченность обратного, т.е. его непрерывность. А непрерывность вообще любого отображения означает замкнутость прообраза любого замкнутого множества. Прообраз же для обратного -- это и есть образ для исходного.

Ну или пальчиками. Возьмите любую сходящуюся последовательность $\{y_n\}$ образов $L$, рассмотрите соответствующую последовательность их прообразов $\{x_n\equiv L^{-1}y_n\}$ и воспользуйтесь ограниченностью как прямого, так и обратного операторов.

-- Пт янв 13, 2012 16:08:29 --

FFFF в сообщении #526419 писал(а):

пусть $\lim L^{-1}_n=\widetilde L^{-1}$ Тогда рассмотрим $\widetilde L^{-1} L=\lim L^{-1}_n L = \lim L^{-1}_n L_n = I$ Здесь, конечно, слабое место - $L \rightarrow L_n$, могу ли я так просто заменить $L$ под знаком предела, считая, что $L_n$ стремятся к $L$ как бы "вместе" со стремлением $L^{-1}_n$ к $\widetilde L^{-1}$

Да что Вы мучаетесь-то? Просто тупо оцените по норме $L^{-1}-L_n^{-1}=L^{-1}(L-L_n)L_n^{-1}$, учитывая уже имеющуюся ограниченность всего, что только можно.

[FFFF]

ewert
Понял, спасибо=) Знаю определение непрерывности как прообраз каждого открытого множества - открытое множество. переходя к дополнениям получаем, что прообраз любого замкнутого множества замкнут - тогда всё ясно, конечно.
Надо мне запомнить приёмчик $A^{-1}-B^{-1}=A^{-1}(B-A)B^{-1}$ тривиальный, но полезный=)

-- 13.01.2012, 16:40 --

Так, вроде получилось в другую сторону доказать:
пусть $L^{-1}_n$ - равномерно ограничена, требуется доказать что $L^{-1}$-ограничен. Тогда $\{L^{-1}_n\}$ последовательность Коши и она сходится в силу полноты $\mathscr{L}$ Пусть $\lim L^{-1}_n=M$. Этот предел ограничен, обратный к нему тоже ограничен. Покажем, что $M=L^{-1}$ или что $M^{-1}=L$. Рассмотрим $\|M^{-1}-L_n\|=\|M^{-1}(L^{-1}_n-M)L_n\|\leq\|M^{-1}\|\|L^{-1}_n-M\|\|L_n\|$ Здесь $M, L_n$ - ограничены, $\|L^{-1}_n-M\|\leq\varepsilon_n$. Следовательно $\lim L_n=M^{-1}$, то есть $M=L^{-1}$ Следовательно $L^{-1}$-ограничен
Вроде верно?