2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщенная окружность
Сообщение12.01.2012, 14:39 
Аватара пользователя


11/08/11
1024
От нечего делать попробовал обобщить понятие окружности на пространства высших размерностей. Но уперся в некоторый тупик. Вот:

Одно из свойств окружности в двумерном пространстве - для любых двух точек $A, B$, лежащих на окружности, существует такой поворот пространства, что:

1) окружность переводится этим поворотом сама в себя;
2) точка $A$ переводится в точку $B$.

Теперь рассмотрим кривые с тем же самым свойством, но для пространств с количеством измерений, большим двух. Назовем их, скажем, "обобщенными окружностями". Для нашего родного трехмерного вроде кем-то доказано, что обобщенная окружность в нем может быть только обычной двумерной окружностью. Для случая четырех измерений были найдены, например, кривые вида $(\cos(t), \sin(t), \cos(\alpha t), \sin(\alpha t))$. Аналогично легко придумать подобные кривые для любых пространств с четным количеством измерений.

Проблема в том, что я не могу найти все решения задачи, хотя бы для четырех измерений. После некоторых размышлений я пришел к выводу, что задача будет иметь решение, только если в пространстве существует семейство матриц поворота $F(t)$ (запишем так для краткости квадратную матрицу $n \times n$, элементы которой - некоторые функции от $t$, причем при любом значении $t$ эта матрица будет ортогональной), и при любых действительных $p, q$ справедливо $F(p) F(q) = F(p+q)$. Коль скоро мы найдем такое семейство, то кривая с вектор-функцией $F(t) v$, где $v$ - некоторый вектор, как раз и будет обобщенной окружностью.

Основная проблема у меня, конечно, с решением функционального уравнения $F(p) F(q) = F(p+q)$. Собственно, никак не выходит. Прошу помощи.

Кстати, если "обобщенные окружности" были придуманы до меня и имеют настоящее название, буду рад его узнать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная окружность
Сообщение12.01.2012, 15:54 
Заслуженный участник


23/07/08
7869
Харьков
INGELRII писал(а):
$F(p) F(q) = F(p+q)$
$F=\exp$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная окружность
Сообщение12.01.2012, 16:02 
Аватара пользователя


11/08/11
1024
Это я понимаю. Но - экспонента чего? Как вот общее-то решение получить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная окружность
Сообщение12.01.2012, 17:32 


06/04/11
495
INGELRII в сообщении #526063 писал(а):
Основная проблема у меня, конечно, с решением функционального уравнения . Собственно, никак не выходит. Прошу помощи.
Решение, скажем, можно записать как $F(t) = I \exp t$. Тут сразу ещё нужно учитывать ортогональность матрицы $F$.

$F(q)^{+}F(q) = I$

Причём, ортогональности здесь будет недостаточно. Ещё нужно, чтобы определитель был равен 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная окружность
Сообщение12.01.2012, 17:39 


10/02/11
6786
как говорил Козьма Прутков, лишь нерадивые студенты думают, что ортогональные матрицы бывают только скалярными. Впрочем, может он этого и не говорил. А мог бы сказать!
INGELRII в сообщении #526063 писал(а):
ранстве существует семейство матриц поворота $F(t)$ (запишем так для краткости квадратную матрицу $n \times n$, элементы которой - некоторые функции от $t$, причем при любом значении $t$ эта матрица будет ортогональной), и при любых действительных $p, q$ справедливо $F(p) F(q) = F(p+q)$.


$F(t)=e^{At}$ где $A^T=-A$

-- Чт янв 12, 2012 17:47:27 --

srm в сообщении #526141 писал(а):
ак $F(t) = I \exp t$.

это что ортогональная матрица? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная окружность
Сообщение12.01.2012, 18:20 


13/12/05
3565
INGELRII писал(а):
$F(p) F(q) = F(p+q)$

Это однопараметрическая подгруппа ортогональной группы. Касательное пространство к ортогональной группе в единице (алгебра Ли этой группы) состоит из кососимметрических матриц. А однопараметрическая подгруппа определяется своим касательным вектором в единице (при $t=0$) через экспоненту, как в посте выше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group