Обобщенная окружность

[INGELRII]

От нечего делать попробовал обобщить понятие окружности на пространства высших размерностей. Но уперся в некоторый тупик. Вот:

Одно из свойств окружности в двумерном пространстве - для любых двух точек $A, B$, лежащих на окружности, существует такой поворот пространства, что:

1) окружность переводится этим поворотом сама в себя;
2) точка $A$ переводится в точку $B$.

Теперь рассмотрим кривые с тем же самым свойством, но для пространств с количеством измерений, большим двух. Назовем их, скажем, "обобщенными окружностями". Для нашего родного трехмерного вроде кем-то доказано, что обобщенная окружность в нем может быть только обычной двумерной окружностью. Для случая четырех измерений были найдены, например, кривые вида $(\cos(t), \sin(t), \cos(\alpha t), \sin(\alpha t))$. Аналогично легко придумать подобные кривые для любых пространств с четным количеством измерений.

Проблема в том, что я не могу найти все решения задачи, хотя бы для четырех измерений. После некоторых размышлений я пришел к выводу, что задача будет иметь решение, только если в пространстве существует семейство матриц поворота $F(t)$ (запишем так для краткости квадратную матрицу $n \times n$, элементы которой - некоторые функции от $t$, причем при любом значении $t$ эта матрица будет ортогональной), и при любых действительных $p, q$ справедливо $F(p) F(q) = F(p+q)$. Коль скоро мы найдем такое семейство, то кривая с вектор-функцией $F(t) v$, где $v$ - некоторый вектор, как раз и будет обобщенной окружностью.

Основная проблема у меня, конечно, с решением функционального уравнения $F(p) F(q) = F(p+q)$. Собственно, никак не выходит. Прошу помощи.

Кстати, если "обобщенные окружности" были придуманы до меня и имеют настоящее название, буду рад его узнать.

[svv]

INGELRII писал(а):

$F(p) F(q) = F(p+q)$

$F=\exp$

[INGELRII]

Это я понимаю. Но - экспонента чего? Как вот общее-то решение получить?

[srm]

INGELRII в сообщении #526063 писал(а):

Основная проблема у меня, конечно, с решением функционального уравнения . Собственно, никак не выходит. Прошу помощи.

Решение, скажем, можно записать как $F(t) = I \exp t$. Тут сразу ещё нужно учитывать ортогональность матрицы $F$.

$F(q)^{+}F(q) = I$

Причём, ортогональности здесь будет недостаточно. Ещё нужно, чтобы определитель был равен 1.

[Oleg Zubelevich]

как говорил Козьма Прутков, лишь нерадивые студенты думают, что ортогональные матрицы бывают только скалярными. Впрочем, может он этого и не говорил. А мог бы сказать!

INGELRII в сообщении #526063 писал(а):

ранстве существует семейство матриц поворота $F(t)$ (запишем так для краткости квадратную матрицу $n \times n$, элементы которой - некоторые функции от $t$, причем при любом значении $t$ эта матрица будет ортогональной), и при любых действительных $p, q$ справедливо $F(p) F(q) = F(p+q)$.

$F(t)=e^{At}$ где $A^T=-A$

-- Чт янв 12, 2012 17:47:27 --

srm в сообщении #526141 писал(а):

ак $F(t) = I \exp t$.

это что ортогональная матрица?

[Padawan]

INGELRII писал(а):

$F(p) F(q) = F(p+q)$

Это однопараметрическая подгруппа ортогональной группы. Касательное пространство к ортогональной группе в единице (алгебра Ли этой группы) состоит из кососимметрических матриц. А однопараметрическая подгруппа определяется своим касательным вектором в единице (при $t=0$) через экспоненту, как в посте выше.