Взять интеграл. Теория вычетов

[mitiay]

Надо взять $\int\frac{\sin(3x)\cdot\sin(x)}{x^4+x^2}$ в пределах от 0 до бесконечности. Когда раскладываешь произведение синусов на разности косинусов, то получаются расходящиеся интегралы. Как поступать? Буду рад увидеть подробный ход решения.

[SpBTimes]

Нечего их на два интеграла разбивать.

[mitiay]

SpBTimes в сообщении #526077 писал(а):

Нечего их на два интеграла разбивать.

То есть сразу рассматривать $\int \frac{e^{2iz} e^{4iz}}{z^4+z^2}$?

[SpBTimes]

$\sin(3x)\sin(x) = 1/2(\cos(2x) - \cos(4x))$
А тут можете начинать рассматривать и экспоненты.
А то у вас непонятно: как вы потом отделите нужное, от всего интеграла?

[ewert]

mitiay в сообщении #526034 писал(а):

Когда раскладываешь произведение синусов на разности косинусов, то получаются расходящиеся интегралы.

Вычтите из каждого косинуса по единичке -- оба интеграла останутся сходящимися (как в нуле, так и на бесконечности). Вот теперь вот уже можно перейти для каждого из косинусов к вещественной части соотв. экспоненты. При этом, правда, в нуле (т.е. на контуре интегрирования) появятся полюса, но это не страшно -- они будут первого порядка, и вычеты в них учитываются стандартно, т.е. уполовиненно.