Центр тяжести плоской треугольной фигуры

[meteese]

Еще в школе мне учитель сказал, что ц.т. плоской треугольной фигуры (сплошного сечения с треугольным контуром) находится на пересечении медиан этого треугольника. Об этом факте везде говорят.

По сопромату задали задачку, найти ц.т. прямоугольного треугольника (сечение) с катетами a и b. Я вспомнил об этом свойстве треугольника, записал аналитические уравнения двух медиан, опущенных на известные катеты, приравнял их, получил правильный ответ.

Преподаватель не принял это решение, т.к. он спросил меня "с какой стати ц.т. у треугольников лежит на пересечении медиан?". Сказал решать задачу по определению ц.т. плоского сечения произвольного периметра и сплошности.

Определение: ц.т. плоского сечения (которое может иметь дыры и произвольный периметр) - это точка, при проведении через которую произвольной оси, статический момент сечения относительно проведенной оси равен нулю.

Статический момент $S_z$ плоского сечения относительно некоторой оси $Oz$ - это сумма произведений элементарных площадок $dF$ на их расстояния $y$ до этой оси, взятая по всей площади сечения $F$:

$S_z = \int\limits_F y dF, \quad Oy \perp Oz$

Задачу по определению ц.т. и стат. момента я решил, составив и взяв определенный интеграл. Но мне всё же интересно доказательство популярной идеи, что он лежит на пересечении медиан, причем треугольник произвольный.

[ewert]

meteese в сообщении #525797 писал(а):

Но мне всё же интересно доказательство популярной идеи, что он лежит на пересечении медиан, причем треугольник произвольный.

Боюсь, что здесь всё-таки придётся интегрировать; хотя очень уж конкретное интегрирование и не нужно.

Поместите одну вершину треугольника в начало координат, а противоположную сторону расположите параллельно горизонтальной оси. Достаточно очевидно, что при фиксированной высоте треугольника игрековая компонента центра тяжести не зависит от смещения основания вдоль горизонтали. И не зависит от ширины основания (поскольку оба участвующих в вычислении интеграла пропорциональны этой ширине). А это уже означает, что отношение расстояния от центра масс до любого основания к высоте, проведённой к этому основанию -- есть некая универсальная константа.

Ну так константа 1/3 как раз и даёт нам точку пересечения медиан. А любые другие константы (соответственно) дают три параллельных основаниям линии, которые пересекаются не в одной точке и, следовательно, давать центр масс не могут.

[meteese]

Неплохое доказательство. Немного необычное.

[Евгений Машеров]

Не-доказательство (но пояснение; и можно превратить в доказательство по типу того, как в античное время, до интегрирования, считали объёмы тел и т.п.)
Распилим треугольник на узкие полоски, параллельные одной из сторон. Центр тяжести полоски - посредине (тут надо бы устремить ширину полоски к нулю, и показать, что положение центра тяжести стремится к её середине, без этого это не доказательство, а "содержательное соображение"). Все середины полосок лежат на медиане. Очевидно, центр тяжести треугольника, составленного из полосок, также на медиане. Проведя две медианы, находим его (и показываем, что третья также пройдёт через эту точку).