Экв-ть уравнения Колмогорова-Чепмена и свёртки

[Nimza]

Пусть $(X_t, t \geqslant 0)$ -- процесс с независимыми и однородными приращениями, $X_{t+h} - X_t \sim Q_h$, $\{P^{t,s}\}$ -- переходные ядра. Нужно показать, что уравнение Колмогорова-Чепмена

$P^{t_1,t_3} = P^{t_1,t_2} \cdot P^{t_2,t_3}$

Эквивалентно групповому свойству распределений:

$Q_{h_1+h_2} = Q_{h_1} * Q_{h_2}$

В какую вообще сторону думать? Я поковырялся в этом, но ничего строгого предложить не смог.

[Хорхе]

Во-первых, в силу однородности $P^{s,t} = P^{0,t-s}=:P^{t-s}$. Во-вторых, умножаются эти переходные ядра специфически (как?) В-третьих, существует простая связь между $Q_h$ и $P^h$ (какая?) Ответьте на эти простые вопросы -- и получите желаемое.

[Nimza]

Спасибо, всё получилось, только вот $P^{t,s} = P^{0,s-t}$ мне удалось показать с использованием независимости приращений. Как это показать пользуясь только однородностью?

[PAV]

Так это же вроде по сути определение однородности и есть.

[Nimza]

Да. Но я исхожу из определения, в котором требуется независимость от $t$ распределений приращений $X_{t+h} - X_{t}$.

[Nimza]

Проделал то же, что и в случае с независимыми приращениями. Дошёл до

$P^{t,t+h}(x,B) = \int\limits_{B-x} Q (x,dy)$

Здесь $Q(x,B)$ -- переходное ядро от $X_t$ к $X_{t+h}-X_{t}$. Вот если приращения независимы, то оно равно просто распределению $X_{t+h}-X_{t} \sim Q_h$ и всё хорошо получается.