Имеется задачка:
![$\int_{0}^{\infty}\frac {x^a} {2012^x}, a\in(-1,0)$ $\int_{0}^{\infty}\frac {x^a} {2012^x}, a\in(-1,0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/3/163dc5bf691d89fde5d9e91ff641f03782.png)
. Требуется исследовать на равномерную сходимость. У меня есть идея, но я в ней не уверен.
Чтобы интеграл сходился, хотя бы неравномерно, нужно, чтобы существовал предел:
![$\lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b}\frac {x^a} {2012^x}$ $\lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b}\frac {x^a} {2012^x}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/e/ace3a6aee02163788ca284f0bb9a17db82.png)
Интеграл можно разбить на два:
![$\int_{0}^{\infty}\frac {x^a} {2012^x} = \int_{0}^{1}\frac {x^a} {2012^x} + \int_{1}^{\infty}\frac {x^a} {2012^x}$ $\int_{0}^{\infty}\frac {x^a} {2012^x} = \int_{0}^{1}\frac {x^a} {2012^x} + \int_{1}^{\infty}\frac {x^a} {2012^x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/e/99ebebeecd1e4e422210bb6b873290e182.png)
Первый интеграл можно оценить следующим интегралом:
![$\int_{0}^{1}\frac {x^a} {2012^x}>\int_{0}^{1}\frac {x^a} {2012}$ $\int_{0}^{1}\frac {x^a} {2012^x}>\int_{0}^{1}\frac {x^a} {2012}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/5/5058854271d0d7f29fcc94fcc14a91ed82.png)
![$\int_{0}^{1}\frac {x^a} {2012} = \frac {1} {2012(a+1)}$ $\int_{0}^{1}\frac {x^a} {2012} = \frac {1} {2012(a+1)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/4/36495d26f40fbb0aef28c87ee18a14bd82.png)
и т.к. он будет расходиться при a=-1, то по признаку Вейрштрасса будет расходиться первый интеграл в сумме, а, следовательно, и вся сумма.
Вызывает сомнение, то, что обычно разбивают на сумму, если имеется особая точка по середине интервала, а здесь ее нет, а интервал был разбит с точки зрения удобства оценки.
Прокомментируйте, если полный бред. Спасибо.