Дифференциальное уравнение

[Sverest]

Решить задачу Коши:

$y'=\frac{y}{t+1}+e^t(t+1)$

$y(0)=1$

С чего надо начинать?

[ShMaxG]

Умножьте все на $t+1$, перенесите слагаемое с игреком влево. И внимательно смотрите.

[Sverest]

$y'(t+1)-y=e^t (t+1)^2$

Бернули?

[ShMaxG]

Попробуйте найти или производную произведения, или производную отношения.

[loldop]

Как вариант, сделать замену $y = u(t)e^t$

[ShMaxG]

Да, но это дольше.

[Sverest]

Производную произведения $e^t (t+1)$ ?

[svv]

Да, то, что предлагает ShMaxG, прямо-таки напрашивается:
$\dfrac {y'(t+1)-y(t+1)'}{(t+1)^2}=e^t$

$\frac{u'v-uv'}{v^2}$

[Sverest]

то есть надо решить систему

$(t+1)'=1$
$(\frac{y}{t+1})'=e^t$

[svv]

$(t+1)'=t'+1'=t'=\frac{dt}{dt}=1$
Этого решать не надо, это тождество. Оно позволило записать Ваше уравнение в красивом виде, как производную отношения.
Оно позволило трактовать невидимый множитель $1$ при $y$ как производную $v=t+1$.
Решайте только $(\frac{y}{t+1})'=e^t$.

Вы, кстати, можете для проверки взять производную частного, и опять получите Ваше уравнение -- это тривиально. А чуть сложнее догадаться, что и наоборот можно -- от Вашего уравнения к производной частного.

[Sverest]

надо начальное условие подставить

$(\frac{y}{0+1})'=e^0$

получим $y'=1$

[loldop]

Обычно начальное условие используется для нахождения конкретной функции-представительницы из семейства решений.

[svv]

А семейства-то и не видно... почему-то.

[ShMaxG]

Sverest в сообщении #525265 писал(а):

надо начальное условие подставить

$(\frac{y}{0+1})'=e^0$

получим $y'=1$

Нет, это не правильно.

Ваше исходное уравнение эквивалентно, как мы выяснили, $\[\left( {\frac{y}{{t + 1}}} \right)' = {e^t}\]$. Решите его. Получите константу (это будет константа интегрирования). Затем подставьте $t=0, y=1$. Отсюда найдите эту константу.

[Sverest]

вспомнил $(x^2)'=2x$ значит $\int 2x dx=x^2+C$

значит

$\frac{y}{t+1}=e^t+C$

$\frac{1}{0+1}=e^0+C$

$C=0$

$y=e^t(t+1)$