Уравнение Фредгольма: ядро= обобщенная функция + непрерывная

[epolyach]

Уважаемые математики!

Имеется интегральное уравнение на собственные значения:

$$ \omega \varphi(x) = \nu(x)\varphi(x) + Q\int\limits_0^1 K(x,x')\varphi(x')dx', $$

где $\nu(x)$ - монотонная функция (можно для простоты считать $\nu(x)=x$), ядро $K(x,x')$ - непрерывная, ограниченная функция, $0\le x,x'\le 1$, $Q$ - числовой параметр. Задача - найти собственное значение $\omega$ и собственную функцию $\varphi(x)$. Формально это уравнение можно переписать в виде уравнения Фредгольма:

$$ \omega \varphi(x) = \int\limits_0^1 \tilde K(x,x')\varphi(x')dx', $$

где $\tilde K(x,x') = \nu(x)\delta(x-x') + QK(x,x')$.
Меня интересуют два вопроса:
1) Исследовались ли подобные уравнения в литературе, что можно посмотреть?
2) Как грамотно решать такие уравнения численно?
Здесь я сам уже имею небольшой опыт. В описании к библиотеке программ Numerical Recipes (например здесь: http://www.nrbook.com/a/bookfpdf.html) говорится, что можно решать такое уравнение, как и обычное интегральное уравнение, т.е. сведением задачи к нахождению СЗ и СФ матрицы. И наличие на диагонали матрицы вклада от дельта-функции не ухудшает точность решения. Однако, я столкнулся со следующей проблемой.

Я хочу найти границу устойчивости по $Q$, т.е. момент, когда при увеличении параметра $Q$ помимо непрерывного спектра появляется дискретный корень, отвечающий неустойчивому решению (Im $\omega$>0). Численно я наблюдаю сначала появление "возмущения" непрерывного спектра (появление множества корней с малыми мнимыми частями), а затем из них (при увеличении $Q$) появляется нужный мне дискретный корень. Вопрос в том: имеет ли это "возмущение" реальный смысл. Если же это ошибки счета, то можно ли как-нибудь от них избавится?

Заранее спасибо,
Евгений.

[$]

Цитата:

1) Исследовались ли подобные уравнения в литературе, что можно посмотреть?

Если ничего не напутал, то смотреть надо учебники функционального анализа либо задачники по функциональному анализу. Там разделы на интегральные уравнения есть.

[Comga]

Для начала следует раобраться относится ли ваша задача к классу корректных. Для решения некорректных задач используется регуляризация. Рекомендую почитать: Ю.П. Петров, В.С. Сизиков. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями. - Спб: Политехника, 2003. 261 с.

[ГАЗ-67]

Где можно найти эту книгу ?

[DON_VINTON]

Полностью приведите уравнение . Интересно , откуда взялось это уравнение ?

[epolyach]

Это или аналогичные уравнения получаются при изучении собственных колебаний звездного скопления сферической или дисковой формы. Вот ссылки на оригинальные статьи:

http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0611568
http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0312595

Там эти уравнения решались численно описанным выше способом.

Спасибо за ссылку на книгу по некорректным задачам. Я обязательно посмотрю, хотя не думаю, что она некорректная.

В описанной мной упрощенной задаче можно считать, что ядро K определяет самосопряженный оператор с неотрицательными собственными значениями. Тогда нужно определить значение $Q$, при котором появляется дискретный спектр (отдельно стоящий корень на действительной оси, см. astro-ph/0312595).

Численно я разобрался с причиной появления посторонних корней с малыми инкрементами. Избежать проблем и вполне надежно находить границу устойчивости по Q можно, если интеграл в правой части рассматривать не как интеграл по действительной оси, а деформировать его, т.е. увести контур интегрирования под действительную ось. Однако, для этого требуется провести гораздо более сложные расчеты ядра K.

Евгений.