Всё или ничего (точные квадраты во множестве)

[Ktina]

Для каждого натурального $1\le n\le 20$ рассмотрим множество $S_n$ всех чисел вида $n^a+n^b+n^c$ , где a, b, c - натуральные.

При каких n в таком множестве будет бесконечно много точных квадратов, а при каких - ни одного?

[Null]

n=1 нет
n=2 1+4+4=9
n=3 3+3+3=9
n=4 1+4+4=9
n=5 нет (mod 4)
n=6 нет (mod 5)
n=7 1+1+7=9
n=8 нет (mod 7)
n=9,13,17 нет (mod 4)
n=11,16 нет (mod 5)
n=15 нет (mod 7)
n=10,19 нет (mod 9)
n=12 1+12+12=25
n=14 1+1+14=16
n=18 нет (mod 17)
n=20 нет (mod 19)

[Руст]

Решений много.
1)Пусть $a\ge b\ge c$. Если $a=b=c$, то $3n^a$ квадрат, следовательно $a$ нечетное $n=3m^2$ $m$ любое натуральное.
2) Пусть $a>b=c$. Тогда $n^b(n^k+2), k=a-b$ квадрат. Если $n$ нечетное, то решений нет, так как $n=m^2$. Если $n$ четное то $n=2m^2$ и $2^{k-1}m^{2k}+1$ квадрат и $b, k-1$ нечетное. Сводится к решению $x^2-2y^2=1$
$x+y\sqrt 2=(3+2\sqrt 2)^d$ . Тут еще налагается условие на $y=2^{k-1}m^k$ причем $k$ -четное. Не знаю есть ли решение с $m>1$ проверить $m=1$ так же не просто.
3) Пусть $a=b>c$. Тогда $n^c(2n^k+1)$ квадрат. Много решений вида $n=m^2, y=m^k$ (можно брать $k=1$) с тем же уравнением Пелля. Много решений и $c$ - четное $2n^k+1$ квадрат (хотя бы с тем же уравнением Пелля $k=2$.
4) $a>b>c$ Тогда решений с нечетным с по видимому нет (в конкретных случаях доказывается легко, общий случай сводится к целым точкам на эллиптической кривой). Для четного $c$ сводится к $n^m+n^k+1,m>k>0$ квадрат. Случай $m=2k$ не имеет решений. Случай четного m и $k\le m/2$ не имеет решений.Случай $m<2k$ разбирается по модулю $n^k$. Тривиальное решение при $m=2k-2$ получается n=2. Есть конечное число решений, например $m=3,k=2,n=4$.