Мартингалы

[squa]

Зравствуйте ! Мне надо пару задач по теме Мартингалы решить, хочу проверить правильность своих рассуждений здесь, буду признателен за помощь.

1) Пусть ($X_1,...,$X_n) - независимые случайные величины , имеющие распределение Бернулли,
с такими параметрами :
P($X_k=1)=P($X_k=-1)=0.5
Рассмотрим такую штуку : $S_k=\sum\limits_{i=1}^n $X_i и сигма алгебру $F_k=\sigma($X_1,...,$X_k) .
Надо показать что ($S_k,$F_k) есть Мартингал.

Мои мысли таковы :
M($S_k)=M(\sum\limits_{i=1}^k $X_i)=\sum\limits_{i=1}^k M($X_i)=0 - мат. ожидание константа - тут все хорошо

M($S_{k+1}/$F_k)=M($S_{k}+$X_{k+1}/$F_k) =

здесь у меня вопрос, судя по условию дальше должно быть что то вроде :

= $S_k + M($X_{k+1}/$F_k) где последний член равен нулю, так как от сигма алгебры не зависит а мат. ожидание мы посчитали выше оно ноль Если верно , то определение мартингала выполнено. Hе особо понимаю именно это рассуждение в конце , независимость от алгебры , что и когда мы можем выносить.
Вообщем очень хотелось бы какие то наводки или замечания. Спасибо!

[--mS--]

См. свойства условных математических ожиданий. Ширяев, Боровков, - любой учебник, где есть УМО относительно сигма-алгебр. Даже в википедии неплохо написано.

Например, $\mathsf E(\xi \, |\, \mathcal F)=\xi$ п.н., если $\xi$ измерима относительно $\mathcal F$, ну и свойство для случая, когда $\sigma(\xi)$ и $\mathcal F$ независимы: $\mathsf E(\xi \,|\, \mathcal F)=\mathsf E\xi$ п.н.

( $\mathsf E=\mathsf M\ $ )

Много красивых свойств у УМО, однако, есть. Судя по тому, что Вы верите в наличие таковых свойств, где-то они и у Вас в запаснике должны быть

Кстати, распределение слагаемых - это никак не распределение Бернулли. Такие величины часто называют радемахеровскими.

[squa]

Спасибо , весело ) Они у меня и правда есть в запаснике где то далеко очень , щас посмотрю , потом еще что то посложнее напишу . А вообще решение то верное ?

Кстати насчет распределения Бернулли у слагаемых, это у меня на белом листке черными буквами написано , Профессор писал , неужели неправда ? То что там вместо 0 и 1 другие значения дак это же не страшно